深度学习是机器学习的一个特定分支。我们要想充分理解深度学习，必须对机器学习的基本原理有深刻的理解。本章将探讨贯穿本书其余部分的一些机器学习重要原理。我们建议新手读者或是希望更全面了解的读者参考一些更全面覆盖基础知识的机器学习参考书，例如~{MurphyBook2012}或者~{bishop-book2006}。如果你已经熟知机器学习，可以跳过前面的部分，前往\sec?。 \sec?涵盖了一些传统机器学习技术观点，这些技术对深度学习的发展有着深远影响。

首先，我们将介绍学习算法的定义，并介绍一个简单的示例：线性回归算法。接下来，我们会探讨拟合训练数据与寻找能够泛化到新数据的模式存在哪些不同的挑战。大部分机器学习算法都有\emph{超参数}（必须在学习算法外设定）；我们将探讨如何使用额外的数据设置超参数。机器学习本质上属于应用统计学，更多地关注于如何用计算机统计地估计复杂函数，不太关注为这些函数提供置信区间；因此我们会探讨两种统计学的主要方法：频率派估计和贝叶斯推断。大部分机器学习算法可以分成监督学习和无监督学习两类；我们将探讨不同的分类，并为每类提供一些简单的机器学习算法作为示例。大部分深度学习算法都是基于被称为随机梯度下降的算法求解的。我们将介绍如何组合不同的算法部分，例如优化算法、代价函数、模型和数据集，来建立一个机器学习算法。最后在\sec?，我们会介绍一些限制传统机器学习泛化能力的因素。这些挑战促进了解决这些问题的深度学习算法的发展。

学习算法

机器学习算法是一种能够从数据中学习的算法。然而，我们所谓的”学习”是什么意思呢？ {Mitchell:1997:ML}提供了一个简洁的定义：”对于某类任务$T$和性能度量 $P$，一个计算机程序被认为可以从经验 $E$中学习是指，通过经验 $E$改进后，它在任务$T$上由性能度量 $P$衡量的性能有所提升。” 经验 $E$，任务$T$和性能度量 $P$的定义范围非常宽广，在本书中我们并不会试图去解释这些定义的具体意义。相反，我们会在接下来的章节中提供直观的解释和示例来介绍不同的任务、性能度量和经验，这些将被用来构建机器学习算法。

任务 $T$

机器学习可以让我们解决一些人为设计和使用确定性程序很难解决的问题。从科学和哲学的角度来看，机器学习受到关注是因为提高我们对机器学习的认识需要提高我们对智能背后原理的理解。

从”任务”的相对正式的定义上说，学习过程本身不能算是任务。学习是我们所谓的获取完成任务的能力。例如，我们的目标是使机器人能够行走，那么行走便是任务。我们可以编程让机器人学会如何行走，或者可以人工编写特定的指令来指导机器人如何行走。

通常机器学习任务定义为机器学习系统应该如何处理样本。样本是指我们从某些希望机器学习系统处理的对象或事件中收集到的已经量化的特征的集合。我们通常会将样本表示成一个向量$\Vx\in\SetR^n$，其中向量的每一个元素$x_i$是一个特征。例如，一张图片的特征通常是指这张图片的像素值。

机器学习可以解决很多类型的任务。一些非常常见的机器学习任务列举如下：

\textbf{分类}：在这类任务中，计算机程序需要指定某些输入属于$k$类中的哪一类。为了完成这个任务，学习算法通常会返回一个函数$f:\SetR^n \to {1,\dots,k}$。当$y=f(\Vx)$时，模型将向量$\Vx$所代表的输入分类到数字码$y$所代表的类别。还有一些其他的分类问题，例如，$f$输出的是不同类别的概率分布。分类任务中有一个任务是对象识别，其中输入是图片（通常由一组像素亮度值表示），输出是表示图片物体的数字码。例如，Willow Garage PR2机器人能像服务员一样识别不同饮料，并送给点餐的顾客{cite?}。目前，最好的对象识别工作正是基于深度学习的{cite?}。对象识别同时也是计算机识别人脸的基本技术，可用于标记相片合辑中的人脸{cite?}，有助于计算机更自然地与用户交互。
\textbf{输入缺失分类}：当输入向量的每个度量不被保证的时候，分类问题将会变得更有挑战性。为了解决分类任务，学习算法只需要定义\emph{一个}从输入向量映射到输出类别的函数。当一些输入可能丢失时，学习算法必须学习\emph{一组}函数，而不是单个分类函数。每个函数对应着分类具有不同缺失输入子集的$\Vx$。这种情况在医疗诊断中经常出现，因为很多类型的医学测试是昂贵的，对身体有害的。有效地定义这样一个大集合函数的方法是学习所有相关变量的概率分布，然后通过边缘化缺失变量来解决分类任务。使用$n$个输入变量，我们现在可以获得每个可能的缺失输入集合所需的所有$2^n$个不同的分类函数，但是计算机程序仅需要学习一个描述联合概率分布的函数。参见~{Goodfellow-et-al-NIPS2013}了解以这种方式将深度概率模型应用于这类任务的示例。本节中描述的许多其他任务也可以推广到缺失输入的情况; 缺失输入分类只是机器学习能够解决的问题的一个示例。

\textbf{回归}：在这类任务中，计算机程序需要对给定输入预测数值。为了解决这个任务，学习算法需要输出函数$f:\SetR^n \to \SetR$。除了返回结果的形式不一样外，这类问题和分类问题是很像的。这类任务的一个示例是预测投保人的索赔金额（用于设置保险费），或者预测证券未来的价格。这类预测也用在算法交易中。
\textbf{转录}：这类任务中，机器学习系统观测一些相对非结构化表示的数据，并转录信息为离散的文本形式。例如，光学字符识别要求计算机程序根据文本图片返回文字序列（ASCII码或者Unicode码）。谷歌街景以这种方式使用深度学习处理街道编号{cite?}。另一个例子是语音识别，计算机程序输入一段音频波形，输出一序列音频记录中所说的字符或单词ID的编码。深度学习是现代语音识别系统的重要组成部分，被各大公司广泛使用，包括微软，IBM和谷歌{cite?}。
\textbf{机器翻译}：在机器翻译任务中，输入是一种语言的符号序列，计算机程序必须将其转化成另一种语言的符号序列。这通常适用于自然语言，如将英语译成法语。最近，深度学习已经开始在这个任务上产生重要影响{cite?}。
\textbf{结构化输出}：结构化输出任务的输出是向量或者其他包含多个值的数据结构，并且构成输出的这些不同元素间具有重要关系。这是一个很大的范畴，包括上述转录任务和翻译任务在内的很多其他任务。例如语法分析——映射自然语言句子到语法结构树，并标记树的节点为动词、名词、副词等等。参考~{Collobert-AISTATS2011}将深度学习应用到语法分析的示例。另一个例子是图像的像素级分割，将每一个像素分配到特定类别。例如，深度学习可用于标注航拍照片中的道路位置{cite?}。在这些标注型的任务中，输出的结构形式不需要和输入尽可能相似。例如，在为图片添加描述的任务中，计算机程序观察到一幅图，输出描述这幅图的自然语言句子{cite?}。这类任务被称为\emph{结构化输出任务}是因为输出值之间内部紧密相关。例如，为图片添加标题的程序输出的单词必须组合成一个通顺的句子。

\textbf{异常检测}：在这类任务中，计算机程序在一组事件或对象中筛选，并标记不正常或非典型的个体。异常检测任务的一个示例是信用卡欺诈检测。通过对你的购买习惯建模，信用卡公司可以检测到你的卡是否被滥用。如果窃贼窃取你的信用卡或信用卡信息，窃贼采购物品的分布通常和你的不同。当该卡发生了不正常的购买行为时，信用卡公司可以尽快冻结该卡以防欺诈。参考~{chandola2009anomaly}了解欺诈检测方法。
\textbf{合成和采样}：在这类任务中，机器学习程序生成一些和训练数据相似的新样本。通过机器学习，合成和采样可能在媒体应用中非常有用，可以避免艺术家大量昂贵或者乏味费时的手动工作。例如，视频游戏可以自动生成大型物体或风景的纹理，而不是让艺术家手动标记每个像素{cite?}。在某些情况下，我们希望采样或合成过程可以根据给定的输入生成一些特定类型的输出。例如，在语音合成任务中，我们提供书写的句子，要求程序输出这个句子语音的音频波形。这是一类\emph{结构化输出任务}，但是多了每个输入并非只有一个正确输出的条件，并且我们明确希望输出有很多变化，这可以使结果看上去更加自然和真实。
\textbf{缺失值填补}：在这类任务中，机器学习算法给定一个新样本 $\Vx\in\SetR^n$，$\Vx$中某些元素$x_i$缺失。算法必须填补这些缺失值。

\textbf{去噪}：在这类任务中，机器学习算法的输入是，\emph{干净样本}~$\Vx \in \SetR^n$经过未知损坏过程后得到的\emph{损坏样本}~$\tilde{\Vx} \in \SetR^n$。算法根据损坏后的样本 $\tilde{\Vx}$预测干净的样本 $\Vx$，或者更一般地预测条件概率分布$p(\Vx\mid\tilde{\Vx})$。
\textbf{密度估计}或\textbf{概率质量函数估计}：在密度估计问题中，机器学习算法学习函数$p_{\text{model}}:\SetR^n \to \SetR$，其中$p_{\text{model}}(\Vx)$可以解释成样本采样空间的概率密度函数（如果$\RVx$是连续的）或者概率质量函数（如果$\RVx$是离散的）。要做好这样的任务（当我们讨论性能度量 $P$时，我们会明确定义任务是什么），算法需要学习观测到的数据的结构。算法必须知道什么情况下样本聚集出现，什么情况下不太可能出现。以上描述的大多数任务都要求学习算法至少能隐式地捕获概率分布的结构。密度估计可以让我们显式地捕获该分布。原则上，我们可以在该分布上计算以便解决其他任务。例如，如果我们通过密度估计得到了概率分布$p(\Vx)$，我们可以用该分布解决缺失值填补任务。如果$x_i$的值是缺失的，但是其他的变量值$\Vx_{-i}$已知，那么我们可以得到条件概率分布$p(x_i\mid\Vx_{-i})$。实际情况中，密度估计并不能够解决所有这类问题，因为在很多情况下$p(\Vx)$是难以计算的。

当然，还有很多其他同类型或其他类型的任务。这里我们列举的任务类型只是用来介绍机器学习可以做哪些任务，并非严格地定义机器学习任务分类。

性能度量 $P$

为了评估机器学习算法的能力，我们必须设计其性能的定量度量。通常性能度量 $P$是特定于系统执行的任务$T$而言的。

对于诸如分类、缺失输入分类和转录任务，我们通常度量模型的准确率。准确率是指该模型输出正确结果的样本比率。我们也可以通过错误率得到相同的信息。错误率是指该模型输出错误结果的样本比率。我们通常把错误率称为$0-1$损失的期望。在一个特定的样本上，如果结果是对的，那么$0-1$损失是$0$；否则是$1$。但是对于密度估计这类任务而言，度量准确率，错误率或者其他类型的$0-1$损失是没有意义的。反之，我们必须使用不同的性能度量，使模型对每个样本都输出一个连续数值的得分。最常用的方法是输出模型在一些样本上概率对数的平均值。

通常，我们会更加关注机器学习算法在未观测数据上的性能如何，因为这将决定其在实际应用中的性能。因此，我们使用测试集数据来评估系统性能，将其与训练机器学习系统的训练集数据分开。

性能度量的选择或许看上去简单且客观，但是选择一个与系统理想表现对应的性能度量通常是很难的。

在某些情况下，这是因为很难确定应该度量什么。例如，在执行转录任务时，我们是应该度量系统转录整个序列的准确率，还是应该用一个更细粒度的指标，对序列中正确的部分元素以正面评价？在执行回归任务时，我们应该更多地惩罚频繁犯一些中等错误的系统，还是较少犯错但是犯很大错误的系统？这些设计的选择取决于应用。

还有一些情况，我们知道应该度量哪些数值，但是度量它们不太现实。这种情况经常出现在密度估计中。很多最好的概率模型只能隐式地表示概率分布。在许多这类模型中，计算空间中特定点的概率是不可行的。在这些情况下，我们必须设计一个仍然对应于设计对象的替代标准，或者设计一个理想标准的良好近似。

经验 $E$

根据学习过程中的不同经验，机器学习算法可以大致分类为无监督算法和监督算法。

本书中的大部分学习算法可以被理解为在整个数据集上获取经验。数据集是指很多样本组成的集合，如\sec?所定义的。有时我们也将样本称为数据点。

Iris（鸢尾花卉）数据集~{cite?}是统计学家和机器学习研究者使用了很久的数据集。它是$150$个鸢尾花卉植物不同部分测量结果的集合。每个单独的植物对应一个样本。每个样本的特征是该植物不同部分的测量结果：萼片长度、萼片宽度、花瓣长度和花瓣宽度。这个数据集也记录了每个植物属于什么品种，其中共有三个不同的品种。

无监督学习算法训练含有很多特征的数据集，然后学习出这个数据集上有用的结构性质。在深度学习中，我们通常要学习生成数据集的整个概率分布，显式地，比如密度估计，或是隐式地，比如合成或去噪。还有一些其他类型的无监督学习任务，例如聚类，将数据集分成相似样本的集合。

监督学习算法训练含有很多特征的数据集，不过数据集中的样本都有一个标签或目标。例如，Iris~数据集注明了每个鸢尾花卉样本属于什么品种。监督学习算法通过研究Iris~数据集，学习如何根据测量结果将样本划分为三个不同品种。

大致说来，无监督学习涉及到观察随机向量$\RVx$的好几个样本，试图显式或隐式地学习出概率分布$p(\RVx)$，或者是该分布一些有意思的性质；而监督学习包含观察随机向量$\RVx$及其相关联的值或向量$\RVy$，然后从$\RVx$预测$\RVy$，通常是估计$p(\RVy\mid\RVx)$。术语监督学习源自这样一个视角，教员或者老师提供目标 $\RVy$给机器学习系统，指导其应该做什么。在无监督学习中，没有教员或者老师，算法必须学会在没有指导的情况下理解数据。

无监督学习和监督学习不是严格定义的术语。它们之间界线通常是模糊的。很多机器学习技术可以用于这两个任务。例如，概率的链式法则表明对于向量$\RVx\in\SetR^n$，联合分布可以分解成 \begin{equation} p(\RVx) = \prod_{i=1}^n p(\RSx_i \mid \RSx_1,\dots,\RSx_{i-1}) . \end{equation} 该分解意味着我们可以将其拆分成$n$个监督学习问题，来解决表面上的无监督学习 $p(\Vx)$。另外，我们求解监督学习问题$p(y\mid\RVx)$时，也可以使用传统的无监督学习策略学习联合分布$p(\RVx,y)$，然后推断 \begin{equation} p(y\mid\RVx) = \frac{p(\RVx,y)}{\sum_{y’}p(\RVx,y’)}. \end{equation} 尽管无监督学习和监督学习并非完全没有交集的正式概念，它们确实有助于粗略分类我们研究机器学习算法时遇到的问题。传统地，人们将回归、分类或者结构化输出问题称为监督学习。支持其他任务的密度估计通常被称为无监督学习。

学习范式的其他变种也是有可能的。例如，半监督学习中，一些样本有监督目标，但其他样本没有。在多实例学习中，样本的整个集合被标记为含有或者不含有该类的样本，但是集合中单独的样本是没有标记的。参考~{Kotzias2015}了解最近深度模型进行多实例学习的示例。

有些机器学习算法并不是训练于一个固定的数据集上。例如，强化学习算法会和环境进行交互，所以学习系统和它的训练过程会有反馈回路。这类算法超出了本书的范畴。请参考~{Sutton+Barto-98}或~{Bertsekas+Tsitsiklis-book1996}了解强化学习相关知识，{Deepmind-atari-arxiv2013}介绍了强化学习方向的深度学习方法。

大部分机器学习算法简单地训练于一个数据集上。数据集可以用很多不同方式来表示。在所有的情况下，数据集都是样本的集合，而样本是特征的集合。

表示数据集的常用方法是设计矩阵。设计矩阵的每一行包含一个不同的样本。每一列对应不同的特征。例如，Iris~数据集包含$150$个样本，每个样本有4个特征。这意味着我们可以将该数据集表示为设计矩阵 $\MX\in\SetR^{150\times 4}$，其中$X_{i,1}$表示第$i$个植物的萼片长度，$X_{i,2}$表示第$i$个植物的萼片宽度等等。我们在本书中描述的大部分学习算法都是讲述它们是如何运行在设计矩阵数据集上的。

当然，每一个样本都能表示成向量，并且这些向量的维度相同，才能将一个数据集表示成设计矩阵。这一点并非永远可能。例如，你有不同宽度和高度的照片的集合，那么不同的照片将会包含不同数量的像素。因此不是所有的照片都可以表示成相同长度的向量。 \sec?和\chap?将会介绍如何处理这些不同类型的异构数据。在上述这类情况下，我们不会将数据集表示成$m$行的矩阵，而是表示成$m$个元素的结合：${\Vx^{(1)},\Vx^{(2)},\dots,\Vx^{(m)}}$。这种表示方式意味着样本向量$\Vx^{(i)}$和$\Vx^{(j)}$可以有不同的大小。

在监督学习中，样本包含一个标签或目标和一组特征。例如，我们希望使用学习算法从照片中识别对象。我们需要明确哪些对象会出现在每张照片中。我们或许会用数字编码表示，如$0$表示人、$1$表示车、$2$表示猫等等。通常在处理包含观测特征的设计矩阵 $\MX$的数据集时，我们也会提供一个标签向量$\Vy$，其中$y_i$表示样本 $i$的标签。

当然，有时标签可能不止一个数。例如，如果我们想要训练语音模型转录整个句子，那么每个句子样本的标签是一个单词序列。

正如监督学习和无监督学习没有正式的定义，数据集或者经验也没有严格的区分。这里介绍的结构涵盖了大多数情况，但始终有可能为新的应用设计出新的结构。

示例：线性回归

我们将机器学习算法定义为，通过经验以提高计算机程序在某些任务上性能的算法。这个定义有点抽象。为了使这个定义更具体点，我们展示一个简单的机器学习示例：线性回归。当我们介绍更多有助于理解机器学习特性的概念时，我们会反复回顾这个示例。

顾名思义，线性回归解决回归问题。换言之，我们的目标是建立一个系统，将向量$\Vx\in\SetR^n$作为输入，预测标量$y\in\SetR$作为输出。线性回归的输出是其输入的线性函数。令$\hat{y}$表示模型预测$y$应该取的值。我们定义输出为 \begin{equation} \hat{y} = \Vw^\Tsp \Vx , \end{equation} 其中$\Vw\in\SetR^n$是参数向量。

参数是控制系统行为的值。在这种情况下，$w_i$是系数，会和特征 $x_i$相乘之后全部相加起来。我们可以将$\Vw$看作是一组决定每个特征如何影响预测的权重。如果特征 $x_i$对应的权重$w_i$是正的，那么特征的值增加，我们的预测值$\hat{y}$也会增加。如果特征 $x_i$对应的权重$w_i$是负的，那么特征的值增加，我们的预测值$\hat{y}$会减少。如果特征权重的大小很大，那么它对预测有很大的影响；如果特征权重的大小是零，那么它对预测没有影响。

因此，我们可以定义任务$T$：通过输出$\hat{y} = \Vw^\Tsp \Vx$从$\Vx$预测$y$。接下来我们需要定义性能度量——$P$。

假设我们有$m$个输入样本组成的设计矩阵，我们不用它来训练模型，而是评估模型性能如何。我们也有每个样本对应的正确值$y$组成的回归目标向量。因为这个数据集只是用来评估性能，我们称之为测试集。我们将输入的设计矩阵记作$\MX^{\text{(test)}}$，回归目标向量记作$\Vy^{(\text{test})}$。

度量模型性能的一种方法是计算模型在测试集上的均方误差。如果$\hat{\Vy}^{(\text{test})}$表示模型在测试集上的预测值，那么均方误差表示为： \begin{equation} \text{MSE}{\text{test}} = \frac{1}{m} \sum_i ( \hat{\Vy}^{(\text{test})} - \Vy^{(\text{test})})_i^2. \end{equation} 直观上，当$\hat{\Vy}^{(\text{test})} = \Vy^{(\text{test})}$时，我们会发现误差降为$0$。我们也可以看到 \begin{equation} \text{MSE}{\text{test}} = \frac{1}{m} \norm{ \hat{\Vy}^{(\text{test})} - \Vy^{(\text{test})}}_2^2, \end{equation} 所以当预测值和目标值之间的欧几里得距离增加时，误差也会增加。

为了构建一个机器学习算法，我们需要设计一个算法，通过观察训练集$(\MX^{(\text{train})},\Vy^{(\text{train})})$获得经验，减少$\text{MSE}{\text{test}}$以改进权重$\Vw$。一种直观方式（我们将在后续的\sec?说明其合法性）是最小化训练集上的均方误差，即$\text{MSE}{\text{train}}$。

最小化$\text{MSE}{\text{train}}$，我们可以简单地求解其导数为$\mathbf{0}$的情况： \begin{equation} \nabla{\Vw} \text{MSE}{\text{train}} = 0 \end{equation} \begin{equation} \Rightarrow \nabla{\Vw} \frac{1}{m} \norm{ \hat{\Vy}^{(\text{train})} - \Vy^{(\text{train})}}2^2 = 0 \end{equation} \begin{equation} \Rightarrow \frac{1}{m} \nabla{\Vw} \norm{ \MX^{(\text{train})}\Vw - \Vy^{(\text{train})}}2^2 = 0 \end{equation} \begin{equation} \Rightarrow \nabla{\Vw} \left( \MX^{(\text{train})}\Vw - \Vy^{(\text{train})} \right)^\Tsp \left( \MX^{(\text{train})}\Vw - \Vy^{(\text{train})} \right) = 0 \end{equation} \begin{equation} \Rightarrow \nabla_{\Vw} \left( \Vw^\Tsp \MX^{(\text{train})\Tsp}\MX^{(\text{train})}\Vw - 2\Vw^\Tsp\MX^{(\text{train})\Tsp} \Vy^{(\text{train})} + \Vy^{(\text{train})\Tsp}\Vy^{(\text{train})}
\right) = 0 \end{equation} \begin{equation} \Rightarrow 2\MX^{(\text{train})\Tsp}\MX^{(\text{train})} \Vw - 2\MX^{(\text{train})\Tsp} \Vy^{(\text{train})} = 0 \end{equation} \begin{equation} \Rightarrow \Vw = \left(\MX^{(\text{train})\Tsp}\MX^{(\text{train})} \right)^{-1} \MX^{(\text{train})\Tsp} \Vy^{(\text{train})} \end{equation}

通过\eqn?给出解的系统方程被称为正规方程。计算\eqn?构成了一个简单的机器学习算法。 \fig?展示了线性回归算法的使用示例。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics{Chapter5/figures/linreg_color}} \fi \caption{一个线性回归问题，其中训练集包括十个数据点，每个数据点包含一个特征。因为只有一个特征，权重向量$\Vw$也只有一个要学习的参数$w_1$。\emph{(左)}我们可以观察到线性回归学习$w_1$，从而使得直线$y=w_1x$能够尽量接近穿过所有的训练点。\emph{(右)}标注的点表示由正规方程学习到的$w_1$的值，我们发现它可以最小化训练集上的均方误差。} \end{figure}

值得注意的是，术语线性回归通常用来指稍微复杂一些，附加额外参数（截距项$b$）的模型。在这个模型中， \begin{equation} \hat{y} = \Vw^\Tsp \Vx + b, \end{equation} 因此从参数到预测的映射仍是一个线性函数，而从特征到预测的映射是一个仿射函数。如此扩展到仿射函数意味着模型预测的曲线仍然看起来像是一条直线，只是这条直线没必要经过原点。除了通过添加偏置参数$b$，我们还可以使用仅含权重的模型，但是$\Vx$需要增加一项永远为$1$的元素。对应于额外$1$的权重起到了偏置参数的作用。当我们在本书中提到仿射函数时，我们会经常使用术语”线性”。

截距项$b$通常被称为仿射变换的\,\textbf{偏置}（bias）参数。这个术语的命名源自该变换的输出在没有任何输入时会偏移$b$。它和统计偏差中指代统计估计算法的某个量的期望估计偏离真实值的意思是不一样的。

线性回归当然是一个极其简单且有局限的学习算法，但是它提供了一个说明学习算法如何工作的例子。在接下来的小节中，我们将会介绍一些设计学习算法的基本原则，并说明如何使用这些原则来构建更复杂的学习算法。

容量、过拟合和欠拟合

机器学习的主要挑战是我们的算法必须能够在\emph{先前未观测的新}输入上表现良好，而不只是在训练集上表现良好。 %?? space in book 在先前未观测到的输入上表现良好的能力被称为泛化。

通常情况下，当我们训练机器学习模型时，我们可以使用某个训练集，在训练集上计算一些被称为训练误差的度量误差，目标是降低训练误差。目前为止，我们讨论的是一个简单的优化问题。机器学习和优化不同的地方在于，我们也希望泛化误差（也被称为测试误差）很低。泛化误差被定义为新输入的误差期望。这里，期望的计算基于不同的可能输入，这些输入采自于系统在现实中遇到的分布。

通常，我们度量模型在训练集中分出来的测试集样本上的性能，来评估机器学习模型的泛化误差。

在我们的线性回归示例中，我们通过最小化训练误差来训练模型， \begin{equation} \frac{1}{m^{(\text{train})}} \norm{\MX^{(\text{train})}\Vw - \Vy^{(\text{train})}}_2^2, \end{equation} 但是我们真正关注的是测试误差~$\frac{1}{m^{(\text{test})}} \norm{\MX^{(\text{test})}\Vw - \Vy^{(\text{test})}}_2^2$。

当我们只能观测到训练集时，我们如何才能影响测试集的性能呢？统计学习理论提供了一些答案。如果训练集和测试集的数据是任意收集的，那么我们能够做的确实很有限。如果我们可以对训练集和测试集数据的收集方式有些假设，那么我们能够对算法做些改进。

训练集和测试集数据通过数据集上被称为数据生成过程的概率分布生成。通常，我们会做一系列被统称为独立同分布假设的假设。该假设是说，每个数据集中的样本都是彼此相互独立的，并且训练集和测试集是同分布的，采样自相同的分布。这个假设使我们能够在单个样本的概率分布描述数据生成过程。然后相同的分布可以用来生成每一个训练样本和每一个测试样本。我们将这个共享的潜在分布称为数据生成分布，记作$p_{\text{data}}$。这个概率框架和独立同分布假设允许我们从数学上研究训练误差和测试误差之间的关系。

我们能观察到训练误差和测试误差之间的直接联系是，随机模型训练误差的期望和该模型测试误差的期望是一样的。假设我们有概率分布$p(\Vx,y)$，从中重复采样生成训练集和测试集。对于某个固定的$\Vw$，训练集误差的期望恰好和测试集误差的期望一样，这是因为这两个期望的计算都使用了相同的数据集生成过程。这两种情况的唯一区别是数据集的名字不同。

当然，当我们使用机器学习算法时，我们不会提前固定参数，然后采样得到两个数据集。我们采样得到训练集，然后挑选参数去降低训练集误差，然后采样得到测试集。在这个过程中，测试误差期望会大于或等于训练误差期望。以下是决定机器学习算法效果是否好的因素： \begin{enumerate}

降低训练误差。
缩小训练误差和测试误差的差距。 \end{enumerate}

这两个因素对应机器学习的两个主要挑战：欠拟合和过拟合。欠拟合是指模型不能在训练集上获得足够低的误差。而过拟合是指训练误差和和测试误差之间的差距太大。

通过调整模型的容量，我们可以控制模型是否偏向于过拟合或者欠拟合。通俗地，模型的容量是指其拟合各种函数的能力。容量低的模型可能很难拟合训练集。容量高的模型可能会过拟合，因为记住了不适用于测试集的训练集性质。

一种控制训练算法容量的方法是选择假设空间，即学习算法可以选择为解决方案的函数集。例如，线性回归算法将关于其输入的所有线性函数作为假设空间。广义线性回归的假设空间包括多项式函数，而非仅有线性函数。这样做就增加了模型的容量。

一次多项式提供了我们已经熟悉的线性回归模型，其预测如下： \begin{equation} \hat{y} = b + wx. \end{equation} 通过引入$x^2$作为线性回归模型的另一个特征，我们能够学习关于$x$的二次函数模型： \begin{equation} \hat{y} = b + w_1x + w_2x^2. \end{equation} 尽管该模型是\emph{输入}的二次函数，但输出仍是\emph{参数}的线性函数。因此我们仍然可以用正规方程得到模型的闭解。我们可以继续添加$x$的更高幂作为额外特征，例如下面的$9$次多项式： \begin{equation} \hat{y} = b + \sum_{i=1}^9 w_i x^i. \end{equation}

当机器学习算法的容量适合于所执行任务的复杂度和所提供训练数据的数量时，算法效果通常会最佳。容量不足的模型不能解决复杂任务。容量高的模型能够解决复杂的任务，但是当其容量高于任务所需时，有可能会过拟合。

\fig?展示了这个原理的使用情况。我们比较了线性，二次和$9$次预测器拟合真实二次函数的效果。线性函数无法刻画真实函数的曲率，所以欠拟合。 $9$次函数能够表示正确的函数，但是因为训练参数比训练样本还多，所以它也能够表示无限多个刚好穿越训练样本点的很多其他函数。我们不太可能从这很多不同的解中选出一个泛化良好的。在这个问题中，二次模型非常符合任务的真实结构，因此它可以很好地泛化到新数据上。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics{Chapter5/figures/underfit_just_right_overfit_color}} \fi \caption{我们用三个模型拟合了这个训练集的样本。训练数据是通过随机抽取$x$然后用二次函数确定性地生成$y$来合成的。\emph{(左)}用一个线性函数拟合数据会导致欠拟合——它无法捕捉数据中的曲率信息。\emph{(中)}用二次函数拟合数据在未观察到的点上泛化得很好。这并不会导致明显的欠拟合或者过拟合。\emph{(右)}一个$9$阶的多项式拟合数据会导致过拟合。在这里我们使用\,Moore-Penrose 伪逆来解这个欠定的正规方程。得出的解能够精确地穿过所有的训练点，但可惜我们无法提取有效的结构信息。在两个数据点之间它有一个真实的函数所不包含的深谷。在数据的左侧，它也会急剧增长，而在这一区域真实的函数却是下降的。} \end{figure}

目前为止，我们探讨了通过改变输入特征的数目和加入这些特征对应的参数，改变模型的容量。事实上，还有很多方法可以改变模型的容量。容量不仅取决于模型的选择。模型规定了调整参数降低训练目标时，学习算法可以从哪些函数族中选择函数。这被称为模型的表示容量。在很多情况下，从这些函数中挑选出最优函数是非常困难的优化问题。实际中，学习算法不会真的找到最优函数，而仅是找到一个可以大大降低训练误差的函数。额外的限制因素，比如优化算法的不完美，意味着学习算法的有效容量可能小于模型族的表示容量。

提高机器学习模型泛化的现代思想可以追溯到早在托勒密时期的哲学家的思想。许多早期的学者提出一个简约原则，现在广泛被称为奥卡姆剃刀（c. 1287-1387）。该原则指出，在同样能够解释已知观测现象的假设中，我们应该挑选”最简单”的那一个。这个想法是在20世纪，由统计学习理论创始人形式化并精确化的{cite?}。

统计学习理论提供了量化模型容量的不同方法。在这些中，最有名的是Vapnik-Chervonenkis维度。 VC\,维度量二元分类器的容量。 VC\,维定义为该分类器能够分类的训练样本的最大数目。假设存在$m$个不同$\Vx$点的训练集，分类器可以任意地标记该$m$个不同的$\Vx$点，VC\,维被定义为$m$的最大可能值。

量化模型的容量使得统计学习理论可以进行量化预测。统计学习理论中最重要的结论阐述了训练误差和泛化误差之间差异的上界随着模型容量增长而增长，但随着训练样本增多而下降{cite?}。这些边界为机器学习算法可以有效解决问题提供了理论验证，但是它们很少应用于实际中的深度学习算法。一部分原因是边界太松，另一部分原因是很难确定深度学习算法的容量。由于有效容量受限于优化算法的能力，确定深度学习模型容量的问题特别困难。而且对于深度学习中的一般非凸优化问题，我们只有很少的理论分析。

我们必须记住虽然更简单的函数更可能泛化（训练误差和测试误差的差距小），但我们仍然需要选择一个充分复杂的假设以达到低的训练误差。通常，当模型容量上升时，训练误差会下降，直到其渐近最小可能误差（假设误差度量有最小值）。通常，泛化误差是一个关于模型容量的U形曲线函数。如\fig?所示。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics{Chapter5/figures/generalization_vs_capacity_color}} \fi \caption{容量和误差之间的典型关系。训练误差和测试误差表现得非常不同。在图的左端，训练误差和泛化误差都非常高。这是欠拟合机制。当我们增加容量时，训练误差减小，但是训练误差和泛化误差之间的间距却不断扩大。最终，这个间距的大小超过了训练误差的下降，我们进入到了过拟合机制，其中容量过大，超过了最佳容量。} \end{figure}

为考虑容量任意高的极端情况，我们介绍非参数\emph{模型}的概念。至此，我们只探讨过参数模型，例如线性回归。参数模型学习的函数在观测到新数据前，参数向量的分量个数是有限且固定的。非参数模型没有这些限制。

有时，非参数模型仅是一些不能实际实现的理论抽象（比如搜索所有可能概率分布的算法）。然而，我们也可以设计一些实用的非参数模型，使它们的复杂度和训练集大小有关。这种算法的一个示例是最近邻回归。不像线性回归有固定长度的向量作为权重，最近邻回归模型存储了训练集中所有的$\MX$和$\Vy$。当需要为测试点$\Vx$分类时，模型会查询训练集中离该点最近的点，并返回相关的回归目标。换言之，$\hat{y}=y_i$其中$i=\argmin \norm{\MX_{i,:}-\Vx}2^2$。该算法也可以扩展成$L^2$范数以外的距离度量，例如学成距离度量{cite?}。在最近向量不唯一的情况下，如果允许算法对所有离$\Vx$最近的$\MX{i,:}$关联的$y_i$求平均，那么该算法会在任意回归数据集上达到最小可能的训练误差（如果存在两个相同的输入对应不同的输出，那么训练误差可能会大于零）。

最后，我们也可以将参数学习算法嵌入另一个增加参数数目的算法来创建非参数学习算法。例如，我们可以想象这样一个算法，外层循环调整多项式的次数，内层循环通过线性回归学习模型。

理想模型假设我们能够预先知道生成数据的真实概率分布。然而这样的模型仍然会在很多问题上发生一些错误，因为分布中仍然会有一些噪声。在监督学习中，从$\Vx$到$y$的映射可能内在是随机的，或者$y$可能是其他变量（包括$\Vx$在内）的确定性函数。从预先知道的真实分布$p(\Vx,y)$预测而出现的误差被称为贝叶斯误差。

训练误差和泛化误差会随训练集的大小发生变化。泛化误差的期望从不会因训练样本数目的增加而增加。对于非参数模型而言，更多的数据会得到更好的泛化能力，直到达到最佳可能的泛化误差。任何模型容量小于最优容量的固定参数模型会渐近到大于贝叶斯误差的误差值。如\fig?所示。值得注意的是，具有最优容量的模型仍然有可能在训练误差和泛化误差之间存在很大的差距。在这种情况下，我们可以通过收集更多的训练样本来缩小差距。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics{Chapter5/figures/training_size_grows}} \fi \caption{训练集大小对训练误差，测试误差以及最佳容量的影响。通过给一个$5$阶多项式添加适当大小的噪声，我们构造了一个合成的回归问题，生成单个测试集，然后生成一些不同尺寸的训练集。为了描述$95\%$置信区间的误差条，对于每一个尺寸，我们生成了$40$个不同的训练集。\emph{(上)}两个不同的模型上训练集和测试集的\,MSE，一个二次模型，另一个模型的阶数通过最小化测试误差来选择。两个模型都是用闭式解来拟合。对于二次模型来说，当训练集增加时训练误差也随之增大。这是由于越大的数据集越难以拟合。同时，测试误差随之减小，因为关于训练数据的不正确的假设越来越少。二次模型的容量并不足以解决这个问题，所以它的测试误差趋近于一个较高的值。最佳容量点处的测试误差趋近于贝叶斯误差。训练误差可以低于贝叶斯误差，因为训练算法有能力记住训练集中特定的样本。当训练集趋向于无穷大时，任何固定容量的模型（在这里指的是二次模型）的训练误差都至少增至贝叶斯误差。\emph{(下)}当训练集大小增大时，最佳容量（在这里是用最优多项式回归器的阶数衡量的）也会随之增大。最佳容量在达到足够捕捉模型复杂度之后就不再增长了。} \end{figure}

没有免费午餐定理

学习理论表明机器学习算法能够在有限个训练集样本中很好地泛化。这似乎违背一些基本的逻辑原则。归纳推理，或是从一组有限的样本中推断一般的规则，在逻辑上不是很有效。为了逻辑地推断一个规则去描述集合中的元素，我们必须具有集合中每个元素的信息。

在一定程度上，机器学习仅通过概率法则就可以避免这个问题，而无需使用纯逻辑推理整个确定性法则。机器学习保证找到一个在所关注的\emph{大多数}样本上\emph{可能}正确的规则。

可惜，即使这样也不能解决整个问题。机器学习的没有免费午餐定理表明~{cite?}，在所有可能的数据生成分布上平均之后，每一个分类算法在未事先观测的点上都有相同的错误率。换言之，在某种意义上，没有一个机器学习算法总是比其他的要好。我们能够设想的最先进的算法和简单地将所有点归为同一类的简单算法有着相同的平均性能（在所有可能的任务上）。

幸运的是，这些结论仅在我们考虑\emph{所有}可能的数据生成分布时才成立。在真实世界应用中，如果我们对遇到的概率分布进行假设的话，那么我们可以设计在这些分布上效果良好的学习算法。

这意味着机器学习研究的目标不是找一个通用学习算法或是绝对最好的学习算法。反之，我们的目标是理解什么样的分布与人工智能获取经验的”真实世界”相关，什么样的学习算法在我们关注的数据生成分布上效果最好。

正则化

没有免费午餐定理暗示我们必须在特定任务上设计性能良好的机器学习算法。我们建立一组学习算法的偏好来达到这个要求。当这些偏好和我们希望算法解决的学习问题相吻合时，性能会更好。

至此，我们具体讨论修改学习算法的方法只有，通过增加或减少学习算法可选假设空间的函数来增加或减少模型的表示容量。我们列举的一个具体示例是线性回归增加或减少多项式的次数。目前为止讨论的观点都是过度简化的。

算法的效果不仅很大程度上受影响于假设空间的函数数量，也取决于这些函数的具体形式。我们已经讨论的学习算法（线性回归）具有包含其输入的线性函数集的假设空间。对于输入和输出确实接近线性相关的问题，这些线性函数是很有用的。对于完全非线性的问题它们不太有效。例如，我们用线性回归，从$x$预测$\sin(x)$，效果不会好。因此我们可以通过两种方式控制算法的性能，一是允许使用的函数种类，二是这些函数的数量。

在假设空间中，相比于某一个学习算法，我们可能更偏好另一个学习算法。这意味着两个函数都是符合条件的，但是我们更偏好其中一个。只有非偏好函数比偏好函数在训练数据集上效果明显好很多时，我们才会考虑非偏好函数。

例如，我们可以加入权重衰减来修改线性回归的训练标准。带权重衰减的线性回归最小化训练集上的均方误差和正则项的和$J(\Vw)$，其偏好于平方$L^2$范数较小的权重。具体如下： \begin{equation} J(\Vw) = \text{MSE}_{\text{train}} + \lambda \Vw^\Tsp \Vw, \end{equation} 其中$\lambda$是提前挑选的值，控制我们偏好小范数权重的程度。当$\lambda =0$，我们没有任何偏好。越大的$\lambda$偏好范数越小的权重。最小化$J(\Vw)$可以看作是拟合训练数据和偏好小权重范数之间的权衡。这会使得解决方案的斜率较小，或是将权重放在较少的特征上。我们可以训练具有不同$\lambda$值的高次多项式回归模型，来举例说明如何通过权重衰减控制模型欠拟合或过拟合的趋势。如\fig?所示。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics{Chapter5/figures/underfit_just_right_overfit_wd_color}} \fi \caption{我们使用高阶多项式回归模型来拟合\fig?中训练样本。真实函数是二次的，但是在这里我们只使用$9$阶多项式。我们通过改变权重衰减的量来避免高阶模型的过拟合问题。\emph{(左)}当$\lambda$非常大时，我们可以强迫模型学习到了一个没有斜率的函数。由于它只能表示一个常数函数，所以会导致欠拟合。\emph{(中)}取一个适当的$\lambda$时，学习算法能够用一个正常的形状来恢复曲率。即使模型能够用更复杂的形状来来表示函数，权重衰减鼓励用一个带有更小参数的更简单的模型来描述它。\emph{(右)}当权重衰减趋近于$0$（即使用\,Moore-Penrose 伪逆来解这个带有最小正则化的欠定问题）时，这个$9$阶多项式会导致严重的过拟合，这和我们在图\?中看到的一样。} \end{figure}

更一般地，正则化一个学习函数$f(\Vx;\Vtheta)$的模型，我们可以给代价函数添加被称为正则化项的惩罚。在权重衰减的例子中，正则化项是$\Omega(\Vw) = \Vw^\Tsp \Vw$。在\chap?，我们将看到很多其他可能的正则化项。

表示对函数的偏好是比增减假设空间的成员函数更一般的控制模型容量的方法。我们可以将去掉假设空间中的某个函数看作是对不赞成这个函数的无限偏好。

在我们权重衰减的示例中，通过在最小化的目标中额外增加一项，我们明确地表示了偏好权重较小的线性函数。有很多其他方法隐式或显式地表示对不同解的偏好。总而言之，这些不同的方法都被称为正则化。 \emph{正则化是指我们修改学习算法，使其降低泛化误差而非训练误差}。正则化是机器学习领域的中心问题之一，只有优化能够与其重要性相媲。

没有免费午餐定理已经清楚地阐述了没有最优的学习算法，特别地，没有最优的正则化形式。反之，我们必须挑选一个非常适合于我们所要解决的任务的正则形式。深度学习中普遍的（特别是本书中的）理念是大量任务（例如所有人类能做的智能任务）也许都可以使用非常通用的正则化形式来有效解决。

超参数和验证集

大多数机器学习算法都有超参数，可以设置来控制算法行为。超参数的值不是通过学习算法本身学习出来的（尽管我们可以设计一个嵌套的学习过程，一个学习算法为另一个学习算法学出最优超参数）。

在\fig?所示的多项式回归示例中，有一个超参数：多项式的次数，作为\textbf{容量}超参数。控制权重衰减程度的$\lambda$是另一个超参数。

有时一个选项被设为学习算法不用学习的超参数，是因为它太难优化了。更多的情况是，该选项必须是超参数，因为它不适合在训练集上学习。这适用于控制模型容量的所有超参数。如果在训练集上学习超参数，这些超参数总是趋向于最大可能的模型容量，导致过拟合（参考\fig?）。例如，相比低次多项式和正的权重衰减设定，更高次的多项式和权重衰减参数设定$\lambda=0$总能在训练集上更好地拟合。

为了解决这个问题，我们需要一个训练算法观测不到的验证集样本。

早先我们讨论过和训练数据相同分布的样本组成的测试集，它可以用来估计学习过程完成之后的学习器的泛化误差。其重点在于测试样本不能以任何形式参与到模型的选择中，包括设定超参数。基于这个原因，测试集中的样本不能用于验证集。因此，我们总是从\emph{训练}数据中构建验证集。特别地，我们将训练数据分成两个不相交的子集。其中一个用于学习参数。另一个作为验证集，用于估计训练中或训练后的泛化误差，更新超参数。用于学习参数的数据子集通常仍被称为训练集，尽管这会和整个训练过程用到的更大的数据集相混。用于挑选超参数的数据子集被称为验证集。通常，$80\%$的训练数据用于训练，$20\%$用于验证。由于验证集是用来”训练”超参数的，尽管验证集的误差通常会比训练集误差小，验证集会低估泛化误差。所有超参数优化完成之后，泛化误差可能会通过测试集来估计。

在实际中，当相同的测试集已在很多年中重复地用于评估不同算法的性能，并且考虑学术界在该测试集上的各种尝试，我们最后可能也会对测试集有着乐观的估计。基准会因之变得陈旧，而不能反映系统的真实性能。值得庆幸的是，学术界往往会移到新的（通常会更巨大、更具挑战性）基准数据集上。

交叉验证

将数据集分成固定的训练集和固定的测试集后，若测试集的误差很小，这将是有问题的。一个小规模的测试集意味着平均测试误差估计的统计不确定性，使得很难判断算法$A$是否比算法$B$在给定的任务上做得更好。

当数据集有十万计或者更多的样本时，这不会是一个严重的问题。当数据集太小时，也有替代方法允许我们使用所有的样本估计平均测试误差，代价是增加了计算量。这些过程是基于在原始数据上随机采样或分离出的不同数据集上重复训练和测试的想法。最常见的是$k$-折交叉验证过程，如\alg?所示，将数据集分成$k$个不重合的子集。测试误差可以估计为$k$次计算后的平均测试误差。在第$i$次测试时，数据的第$i$个子集用于测试集，其他的数据用于训练集。带来的一个问题是不存在平均误差方差的无偏估计{cite?}，但是我们通常会使用近似来解决。

\begin{algorithm} \caption{$k$-折交叉验证算法。当给定数据集$\SetD$对于简单的训练/测试或训练/验证分割而言太小难以产生泛化误差的准确估计时（因为在小的测试集上，$L$可能具有过高的方差），$k$-折交叉验证算法可以用于估计学习算法$A$的泛化误差。数据集$\SetD$包含的元素是抽象的样本 $\Vz^{(i)}$（对于第$i$个样本），在监督学习的情况代表（输入，目标）对$\Vz^{(i)} = (\Vx^{(i)}, y^{(i)})$ ，或者无监督学习的情况下仅用于输入$\Vz^{(i)} = \Vx^{(i)}$。该算法返回$\SetD$中每个示例的误差向量$\Ve$，其均值是估计的泛化误差。单个样本上的误差可用于计算平均值周围的置信区间（\eqn?）。虽然这些置信区间在使用交叉验证之后不能很好地证明，但是通常的做法是只有当算法$A$误差的置信区间低于并且不与算法$B$的置信区间相交时，我们才声明算法$A$比算法$B$更好。} \begin{algorithmic} +[] \hspace*{-4.2mm}{\bf Define} {\tt KFoldXV}($\SetD,A,L,k$): \REQUIRE $\SetD$为给定数据集，其中元素为 $\Vz^{(i)}$ \REQUIRE $A$ 为学习算法，可视为一个函数（使用数据集作为输入，输出一个学好的函数） \REQUIRE $L$ 为损失函数，可视为来自学好的函数$f$，将样本 $\Vz^{(i)} \in \SetD$ 映射到$\SetR$中标量的函数 \REQUIRE $k$为折数 \STATE 将 $\SetD$ 分为 $k$个互斥子集 $\SetD_i$，它们的并集为$\SetD$ \FOR{$i$ from $1$ to $k$} \STATE $f_i = A(\SetD \backslash \SetD_i)$ \FOR{$\Vz^{(j)}$ in $\SetD_i$} \STATE $e_j = L(f_i, \Vz^{(j)})$ \ENDFOR \ENDFOR \STATE {\bf Return} $\Ve$ \end{algorithmic} \end{algorithm}

估计、偏差和方差

统计领域为我们提供了很多工具来实现机器学习目标，不仅可以解决训练集上的任务，还可以泛化。基本的概念，例如参数估计、偏差和方差，对于正式地刻画泛化、欠拟合和过拟合都非常有帮助。

点估计

点估计试图为一些感兴趣的量提供单个”最优”预测。一般地，感兴趣的量可以是单个参数，或是某些参数模型中的一个向量参数，例如\sec?线性回归中的权重，但是也有可能是整个函数。

为了区分参数估计和真实值，我们习惯将参数$\Vtheta$的点估计表示为$\hat{\Vtheta}$。

令${\Vx^{(1)},\dots,\Vx^{(m)}}$是$m$个独立同分布（i.i.d.）的数据点。点估计或统计量是这些数据的任意函数： \begin{equation} \hat{\Vtheta}_m = g(\Vx^{(1)}, \dots, \Vx^{(m)}) . \end{equation} 这个定义不要求$g$返回一个接近真实$\Vtheta$的值，或者$g$的值域恰好是$\Vtheta$的允许取值范围。点估计的定义非常宽泛，给了估计量的设计者极大的灵活性。虽然几乎所有的函数都可以称为估计量，但是一个良好的估计量的输出会接近生成训练数据的真实参数$\Vtheta$。

现在，我们采取频率派在统计上的观点。换言之，我们假设真实参数$\Vtheta$是固定但未知的，而点估计$\hat{\Vtheta}$是数据的函数。由于数据是随机过程采样出来的，数据的任何函数都是随机的。因此$\hat{\Vtheta}$是一个随机变量。

点估计也可以指输入和目标变量之间关系的估计。我们将这种类型的点估计称为函数估计。

\paragraph{函数估计} 有时我们会关注函数估计（或函数近似）。这时我们试图从输入向量$\Vx$预测变量$\Vy$。我们假设有一个函数$f(\Vx)$表示$\Vy$和$\Vx$之间的近似关系。例如，我们可能假设$\Vy = f(\Vx) + \Vepsilon$，其中$\Vepsilon$是$\Vy$中未能从$\Vx$预测的一部分。在函数估计中，我们感兴趣的是用模型估计去近似$f$，或者估计$\hat{f}$。函数估计和估计参数$\Vtheta$是一样的；函数估计$\hat{f}$是函数空间中的一个点估计。线性回归示例（\sec?中讨论的）和多项式回归示例（\sec?中讨论的）都既可以被解释为估计参数$\Vw$，又可以被解释为估计从$\Vx$到$y$的函数映射$\hat{f}$。

现在我们回顾点估计最常研究的性质，并探讨这些性质说明了估计的哪些特点。

偏差

估计的偏差被定义为： \begin{equation} \text{bias}(\hat{\Vtheta}m) = \SetE(\hat{\Vtheta}_m) - \Vtheta, \end{equation} 其中期望作用在所有数据（看作是从随机变量采样得到的）上，$\Vtheta$是用于定义数据生成分布的$\Vtheta$的真实值。如果$\text{bias}(\hat{\Vtheta}_m)=0$，那么估计量 $\hat{\Vtheta}_m$被称为是无偏，这意味着$\SetE(\hat{\Vtheta}_m) = \Vtheta$。如果$\lim{m\to\infty} \text{bias}(\hat{\Vtheta}m)=0$，那么估计量 $\hat{\Vtheta}_m$被称为是渐近无偏，这意味着$\lim{m\to\infty} \SetE(\hat{\Vtheta}_m) = \Vtheta$。

\paragraph{示例：伯努利分布} 考虑一组服从均值为$\theta$的伯努利分布的独立同分布的样本${x^{(1)}, \dots , x^{(m)}}$： \begin{equation} P(x^{(i)}; \theta) = \theta^{x^{(i)}} (1-\theta)^{(1 - x^{(i)})}. \end{equation} 这个分布中参数$\theta$的常用估计量是训练样本的均值： \begin{equation} \hat{\theta}m = \frac{1}{m} \sum{i=1}^m x^{(i)}. \end{equation} 判断这个估计量是否有偏，我们将\eqn?代入\eqn?： \begin{align} \text{bias}(\hat{\theta}m) &= \SetE[\hat{\theta}_m] - \theta
&= \SetE \left[ \frac{1}{m} \sum{i=1}^m x^{(i)} \right] - \theta
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \SetE \left[x^{(i)} \right] - \theta
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \sum_{x^{(i)} = 0}^1 \left( x^{(i)} \theta^{x^{(i)}} (1-\theta)^{(1-x^{(i)})} \right) - \theta
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (\theta) - \theta
&= \theta - \theta = 0 \end{align}

因为$\text{bias}(\hat{\theta})=0$，我们称估计$\hat{\theta}$是无偏的。

\paragraph{示例：均值的高斯分布估计} 现在，考虑一组独立同分布的样本 ${x^{(1)}, \dots , x^{(m)}}$服从高斯分布$p(x^{(i)}) = \mathcal{N}(x^{(i)}; \mu, \sigma^2)$，其中$i\in{1, \dots, m}$。回顾高斯概率密度函数如下： \begin{equation} p(x^{(i)}; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{1}{2} \frac{(x^{(i)} - \mu)^2}{\sigma^2} \right). \end{equation}

高斯均值参数的常用估计量被称为样本均值, %采样均值： \begin{equation} \hat{\mu}m = \frac{1}{m} \sum{i=1}^m x^{(i)} \end{equation} 判断样本均值, %采样均值是否有偏，我们再次计算它的期望： \begin{align} \text{bias} (\hat{\mu}m) &= \SetE[ \hat{\mu}_m ] - \mu
&= \SetE \left[ \frac{1}{m} \sum{i=1}^m x^{(i)} \right] - \mu
&= \left( \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \SetE \left[ x^{(i)} \right] \right) - \mu
&= \left( \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \mu \right) - \mu
&= \mu - \mu = 0 \end{align} 因此我们发现样本均值, %采样均值是高斯均值参数的无偏估计量。

\paragraph{示例：高斯分布方差估计} 本例中，我们比较高斯分布方差参数$\sigma^2$的两个不同估计。我们探讨是否有一个是有偏的。

我们考虑的第一个方差估计被称为样本方差, %采样方差： \begin{equation} \hat{\sigma}m^2 = \frac{1}{m} \sum{i=1}^m \left( x^{(i)} - \hat{\mu}m \right)^2, \end{equation} 其中$\hat{\mu}_m$是样本均值, %采样均值。更形式地，我们对计算感兴趣 \begin{equation} \text{bias} (\hat{\sigma}_m^2) = \SetE [ \hat{\sigma}_m^2 ] - \sigma^2. \end{equation} 我们首先估计项$\SetE [ \hat{\sigma}_m^2 ]$： \begin{align} \SetE [ \hat{\sigma}_m^2 ] &= \SetE \left[ \frac{1}{m} \sum{i=1}^m \left( x^{(i)} - \hat{\mu}_m \right)^2 \right]
&= \frac{m-1}{m} \sigma^2 \end{align} 回到\eqn?，我们可以得出$\hat{\sigma}^2_m$的偏差是$-\sigma^2/m$。因此样本方差, %采样方差是有偏估计。

无偏样本方差, %采样方差估计 \begin{equation} \tilde{\sigma}m^2 = \frac{1}{m-1} \sum{i=1}^m \left( x^{(i)} - \hat{\mu}m \right)^2 \end{equation} 提供了另一种可选方法。正如名字所言，这个估计是无偏的。换言之，我们会发现$\SetE[\tilde{\sigma}_m^2] = \sigma^2$： \begin{align} \SetE[\tilde{\sigma}_m^2] &= \SetE \left[ \frac{1}{m-1} \sum{i=1}^m \left( x^{(i)} - \hat{\mu}_m \right)^2 \right]
&= \frac{m}{m-1} \SetE[ \hat{\sigma}_m^2 ]
&= \frac{m}{m-1} \left( \frac{m-1}{m} \sigma^2 \right)
&= \sigma^2. \end{align}

我们有两个估计量：一个是有偏的，另一个是无偏的。尽管无偏估计显然是令人满意的，但它并不总是”最好”的估计。我们将看到，经常会使用其他具有重要性质的有偏估计。

方差和标准差

我们有时会考虑估计量的另一个性质是它作为数据样本的函数，期望的变化程度是多少。正如我们可以计算估计量的期望来决定它的偏差，我们也可以计算它的方差。估计量的方差就是一个方差 \begin{equation} \text{Var}(\hat{\theta}) \end{equation} 其中随机变量是训练集。另外，方差的平方根被称为标准差，记作$\text{SE}(\hat{\theta})$。

估计量的方差或标准差告诉我们，当独立地从潜在的数据生成过程中重采样数据集时，如何期望估计的变化。正如我们希望估计的偏差较小，我们也希望其方差较小。

当我们使用有限的样本计算任何统计量时，真实参数的估计都是不确定的，在这个意义下，从相同的分布得到其他样本时，它们的统计量也会不一样。任何方差估计量的期望程度是我们想量化的误差的来源。

均值的标准差被记作 \begin{equation} \text{SE}(\hat{\mu}m) = \sqrt{ \text{Var} \left[ \frac{1}{m} \sum{i=1}^m x^{(i)} \right] } = \frac{\sigma}{\sqrt{m}}, \end{equation} 其中$\sigma^2$是样本 $x^{(i)}$的真实方差。标准差通常被记作$\sigma$。可惜，样本方差的平方根和方差无偏估计的平方根都不是标准差的无偏估计。这两种计算方法都倾向于低估真实的标准差，但仍用于实际中。相较而言，方差无偏估计的平方根较少被低估。对于较大的$m$，这种近似非常合理。

均值的标准差在机器学习实验中非常有用。我们通常用测试集样本的误差均值来估计泛化误差。测试集中样本的数量决定了这个估计的精确度。中心极限定理告诉我们均值会接近一个高斯分布，我们可以用标准差计算出真实期望落在选定区间的概率。例如，以均值$\hat{\mu}_m$为中心的$95\%$置信区间是 \begin{equation} ( \hat{\mu}_m - 1.96\text{SE}(\hat{\mu}_m), \hat{\mu}_m + 1.96 \text{SE}(\hat{\mu}_m) ), \end{equation} 以上区间是基于均值$\hat{\mu}_m$和方差$\text{SE}(\hat{\mu}_m)^2$的高斯分布。在机器学习实验中，我们通常说算法$A$比算法$B$好，是指算法$A$的误差的$95\%$置信区间的上界小于算法$B$的误差的$95\%$置信区间的下界。

\paragraph{示例：伯努利分布} 我们再次考虑从伯努利分布（回顾$P(x^{(i)}; \theta) = \theta^{x^{(i)}} (1-\theta)^{1 - x^{(i)}}$）中独立同分布采样出来的一组样本 ${ x^{(1)}, \dots, x^{(m)} }$。这次我们关注估计$\hat{\theta}m = \frac{1}{m} \sum{i=1}^m x^{(i)}$的方差： \begin{align} \text{Var}\left( \hat{\theta}m \right) &= \text{Var}\left( \frac{1}{m} \sum{i=1}^m x^{(i)} \right)
&= \frac{1}{m^2} \sum_{i=1}^m \text{Var} \left( x^{(i)} \right)
&= \frac{1}{m^2} \sum_{i=1}^m \theta (1 - \theta)
&= \frac{1}{m^2} m\theta(1-\theta)
&= \frac{1}{m} \theta(1-\theta) \end{align} 估计量方差的下降速率是关于数据集样本数目$m$的函数。这是常见估计量的普遍性质，在探讨一致性（参考\sec?）时，我们会继续讨论。

权衡偏差和方差以最小化均方误差

偏差和方差度量着估计量的两个不同误差来源。偏差度量着偏离真实函数或参数的误差期望。而方差度量着数据上任意特定采样可能导致的估计期望的偏差。

当我们可以在一个偏差更大的估计和一个方差更大的估计中进行选择时，会发生什么呢？我们该如何选择？例如，想象我们希望近似\fig?中的函数，我们只可以选择一个偏差较大的估计或一个方差较大的估计，我们该如何选择呢？

判断这种权衡最常用的方法是交叉验证。经验上，交叉验证在真实世界的许多任务中都非常成功。另外，我们也可以比较这些估计的均方误差： \begin{align} \text{MSE} &= \SetE[ ( \hat{\theta}_m - \theta )^2 ]
\end{align} MSE\,度量着估计和真实参数$\theta$之间平方误差的总体期望偏差。如\eqn?所示，MSE\,估计包含了偏差和方差。理想的估计具有较小的\,MSE\,或是在检查中会稍微约束它们的偏差和方差。

偏差和方差的关系和机器学习容量、欠拟合和过拟合的概念紧密相联。用\,MSE\,度量泛化误差（偏差和方差对于泛化误差都是有意义的）时，增加容量会增加方差，降低偏差。如\fig?所示，我们再次在关于容量的函数中，看到泛化误差的U形曲线。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics{Chapter5/figures/bias_variance_tradeoff}} \fi \caption{当容量增大（$x$轴）时，偏差（用点表示）随之减小，而方差（虚线）随之增大，使得泛化误差（加粗曲线）产生了另一种U形。如果我们沿着轴改变容量，会发现最佳容量，当容量小于最佳容量会呈现欠拟合，大于时导致过拟合。这种关系与\sec?以及\fig?中讨论的容量、欠拟合和过拟合之间的关系类似。} \end{figure}

一致性

目前我们已经探讨了固定大小训练集下不同估计量的性质。通常，我们也会关注训练数据增多后估计量的效果。特别地，我们希望当数据集中数据点的数量$m$增加时，点估计会收敛到对应参数的真实值。更形式地，我们想要 \begin{equation} \plim_{m\to\infty} \hat{\theta}m = \theta. \end{equation} 符号$\plim$表示依概率收敛，即对于任意的$\epsilon > 0$，当$m\to\infty$时，有$P(|\hat{\theta}_m - \theta| > \epsilon) \to 0$。 \eqn?表示的条件被称为一致性。有时它是指弱一致性，强一致性是指几乎必然从$\hat{\theta}$收敛到$\theta$。几乎必然收敛是指当$p(\lim{m\to\infty} \RVx^{(m)} = \Vx) = 1 $时，随机变量序列$\RVx^{(1)}$，$\RVx^{(2)}$，$\dots$收敛到$\Vx$。

一致性保证了估计量的偏差会随数据样本数目的增多而减少。然而，反过来是不正确的——渐近无偏并不意味着一致性。例如，考虑用包含$m$个样本的数据集 ${x^{(1)},\dots,x^{(m)}}$估计正态分布$\mathcal{N}(x;\mu,\sigma^2)$的均值参数$\mu$。我们可以使用数据集的第一个样本 $x^{(1)}$作为无偏估计量：$\hat{\theta} = x^{(1)}$。在该情况下，$\SetE(\hat{\theta}_m) = \theta$，所以不管观测到多少数据点，该估计量都是无偏的。然而，这不是一个一致估计，因为它\emph{不}满足当$m\to\infty$时，$\hat{\theta}_m \to \theta$。

最大似然估计

之前，我们已经看过常用估计的定义，并分析了它们的性质。但是这些估计是从哪里来的呢？我们希望有些准则可以让我们从不同模型中得到特定函数作为好的估计，而不是猜测某些函数可能是好的估计，然后分析其偏差和方差。

最常用的准则是最大似然估计。

考虑一组含有$m$个样本的数据集 $\SetX={ \Vx^{(1)},\dots, \Vx^{(m)} }$，独立地由未知的真实数据生成分布$p_{\text{data}}(\RVx)$生成。

令$p_{\text{model}}( \RVx; \Vtheta )$是一族由$\Vtheta$确定在相同空间上的概率分布。换言之，$p_{\text{model}}(\Vx;\Vtheta)$将任意输入$\Vx$映射到实数来估计真实概率$p_{\text{data}}(\Vx)$。

对$\Vtheta$的最大似然估计被定义为： \begin{align} \Vtheta_{\text{ML}} &= \underset{\Vtheta}{\argmax} \, p_{\text{model}} (\SetX; \Vtheta),
&= \underset{\Vtheta}{\argmax} \prod_{i=1}^m p_{\text{model}} (\Vx^{(i)}; \Vtheta). \end{align}

多个概率的乘积会因很多原因不便于计算。例如，计算中很可能会出现数值下溢。为了得到一个便于计算的等价优化问题，我们观察到似然对数不会改变其$\argmax$但是将乘积转化成了便于计算的求和形式： \begin{equation} \Vtheta_{\text{ML}} = \underset{\Vtheta}{\argmax} \sum_{i=1}^m \log p_{\text{model}} (\Vx^{(i)}; \Vtheta) . \end{equation} 因为当我们重新缩放代价函数时$\argmax$不会改变，我们可以除以$m$得到和训练数据经验分布$\hat{p}{\text{data}}$相关的期望作为准则： \begin{equation} \Vtheta{\text{ML}} = \underset{\Vtheta}{\argmax} \,\SetE_{\RVx \sim \hat{p}{\text{data}}} \log p{\text{model}} (\Vx; \Vtheta) . \end{equation}

一种解释最大似然估计的观点是将它看作最小化训练集上的经验分布$\hat{p}{\text{data}}$和模型分布之间的差异，两者之间的差异程度可以通过~KL散度度量。 KL散度被定义为 \begin{equation} D{\text{KL}}(\hat{p}{\text{data}} | p{\text{model}}) = \SetE_{\RVx \sim \hat{p}{\text{data}}} [ \log \hat{p}{\text{data}}(\Vx) - \log p_{\text{model}}(\Vx) ] . \end{equation} 左边一项仅涉及到数据生成过程，和模型无关。这意味着当我们训练模型最小化~KL散度时，我们只需要最小化 \begin{equation} -\SetE_{\RVx \sim \hat{p}{\text{data}}} [ \log p{\text{model}}(\Vx) ] , \end{equation} 当然，这和\eqn?中最大化是相同的。

最小化~KL散度其实就是在最小化分布之间的交叉熵。许多作者使用术语”交叉熵”特定表示伯努利或softmax分布的负对数似然，但那是用词不当的。任何一个由负对数似然组成的损失都是定义在训练集上的经验分布和定义在模型上的概率分布之间的交叉熵。例如，均方误差是经验分布和高斯模型之间的交叉熵。

我们可以将最大似然看作是使模型分布尽可能地和经验分布$\hat{p}{\text{data}}$相匹配的尝试。理想情况下，我们希望匹配真实的数据生成分布$p{\text{data}}$，但我们没法直接知道这个分布。

虽然最优$\Vtheta$在最大化似然或是最小化~KL散度时是相同的，但目标函数值是不一样的。在软件中，我们通常将两者都称为最小化代价函数。因此最大化似然变成了最小化负对数似然（NLL)，或者等价的是最小化交叉熵。将最大化似然看作最小化~KL散度的视角在这个情况下是有帮助的，因为已知~KL散度最小值是零。当$\Vx$取实数时，负对数似然可以是负值。

条件对数似然和均方误差

最大似然估计很容易扩展到估计条件概率$P(\RVy \mid \RVx;\Vtheta)$，从而给定$\RVx$预测$\RVy$。实际上这是最常见的情况，因为这构成了大多数监督学习的基础。如果$\MX$表示所有的输入，$\MY$表示我们观测到的目标，那么条件最大似然估计是 \begin{equation} \Vtheta_{\text{ML}} = \underset{\Vtheta}{\argmax} P(\MY \mid \MX; \Vtheta). \end{equation} 如果假设样本是独立同分布的，那么这可以分解成 \begin{equation} \Vtheta_{\text{ML}} = \underset{\Vtheta}{\argmax} \sum_{i=1}^m \log P(\Vy^{(i)} \mid \Vx^{(i)}; \Vtheta). \end{equation}

\paragraph{示例：线性回归作为最大似然} \sec?介绍的线性回归，可以被看作是最大似然过程。之前，我们将线性回归作为学习从输入$\Vx$映射到输出$\hat{y}$的算法。从$\Vx$到$\hat{y}$的映射选自最小化均方误差（我们或多或少介绍的一个标准）。现在，我们以最大似然估计的角度重新审视线性回归。我们现在希望模型能够得到条件概率$p(y \mid \Vx)$，而不只是得到一个单独的预测$\hat{y}$。想象有一个无限大的训练集，我们可能会观测到几个训练样本有相同的输入$\Vx$但是不同的$y$。现在学习算法的目标是拟合分布$p(y \mid \Vx)$到和$\Vx$相匹配的不同的$y$。为了得到我们之前推导出的相同的线性回归算法，我们定义$p(y \mid \Vx) = \mathcal{N}(y; \hat{y}(\Vx; \Vw), \sigma^2)$。函数$\hat{y}(\Vx; \Vw)$预测高斯的均值。在这个例子中，我们假设方差是用户固定的某个常量$\sigma^2$。这种函数形式$p(y \mid \Vx)$会使得最大似然估计得出和之前相同的学习算法。由于假设样本是独立同分布的，条件对数似然（\eqn?）如下 \begin{align} & \sum_{i=1}^m \log p(y^{(i)} \mid \Vx^{(i)}; \Vtheta)
=& -m \log\sigma - \frac{m}{2} \log(2\pi) - \sum_{i=1}^m \frac{ \norm{\hat{y}^{(i)} - y^{(i)} }^2 }{2\sigma^2}, \end{align} 其中$\hat{y}^{(i)}$是线性回归在第$i$个输入$\Vx^{(i)}$上的输出，$m$是训练样本的数目。对比均方误差和对数似然， \begin{equation} \text{MSE}{\text{train}} = \frac{1}{m} \sum{i=1}^m \norm{\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}}^2, \end{equation} 我们立刻可以看出最大化关于$\Vw$的对数似然和最小化均方误差会得到相同的参数估计$\Vw$。但是对于相同的最优$\Vw$，这两个准则有着不同的值。这验证了\,MSE\,可以用于最大似然估计。正如我们将看到的，最大似然估计有几个理想的性质。

最大似然的性质

最大似然估计最吸引人的地方在于，它被证明当样本数目$m\to\infty$时，就收敛率而言是最好的渐近估计。

在合适的条件下，最大似然估计具有一致性（参考\sec?），意味着训练样本数目趋向于无穷大时，参数的最大似然估计会收敛到参数的真实值。这些条件是：

真实分布$p_{\text{data}}$必须在模型族$p_{\text{model}}(\cdot; \Vtheta)$ 中。否则，没有估计可以还原$p_{\text{data}}$。
真实分布$p_{\text{data}}$必须刚好对应一个$\Vtheta$值。否则，最大似然估计恢复出真实分布$p_{\text{data}}$后，也不能决定数据生成过程使用哪个$\Vtheta$。

除了最大似然估计，还有其他的归纳准则，其中许多共享一致估计的性质。然而，一致估计的统计效率可能区别很大。某些一致估计可能会在固定数目的样本上获得一个较低的泛化误差，或者等价地，可能只需要较少的样本就能达到一个固定程度的泛化误差。

统计效率通常用于有参情况的研究中（例如线性回归）。有参情况中我们的目标是估计参数值（假设有可能确定真实参数），而不是函数值。一种度量我们和真实参数相差多少的方法是计算均方误差的期望，即计算$m$个从数据生成分布中出来的训练样本上的估计参数和真实参数之间差值的平方。有参均方误差估计随着$m$的增加而减少，当$m$较大时，Cram'er-Rao下界{cite?}表明不存在均方误差低于最大似然估计的一致估计。

因为这些原因（一致性和统计效率），最大似然通常是机器学习中的首选估计。当样本数目小到会发生过拟合时，正则化策略如权重衰减可用于获得训练数据有限时方差较小的最大似然有偏版本。

贝叶斯统计

至此我们已经讨论了频率派统计方法和基于估计单一值$\Vtheta$的方法，然后基于该估计作所有的预测。另一种方法是在做预测时会考虑所有可能的$\Vtheta$。后者属于贝叶斯统计的范畴。

正如\sec?中讨论的，频率派的视角是真实参数$\Vtheta$是未知的定值，而点估计$\hat{\Vtheta}$是考虑数据集上函数（可以看作是随机的）的随机变量。

贝叶斯统计的视角完全不同。贝叶斯用概率反映知识状态的确定性程度。数据集能够被直接观测到，因此不是随机的。另一方面，真实参数$\Vtheta$是未知或不确定的，因此可以表示成随机变量。

在观察到数据前，我们将$\Vtheta$的已知知识表示成先验概率分布，$p(\Vtheta)$（有时简单地称为”先验”）。一般而言，机器学习实践者会选择一个相当宽泛的（即，高熵的）先验分布，反映在观测到任何数据前参数$\Vtheta$的高度不确定性。例如，我们可能会假设先验$\Vtheta$在有限区间中均匀分布。许多先验偏好于”更简单”的解（如小幅度的系数，或是接近常数的函数）。

现在假设我们有一组数据样本${x^{(1)},\dots,x^{(m)}}$。通过贝叶斯规则结合数据似然$p(x^{(1)},\dots,x^{(m)} \mid \Vtheta)$和先验，我们可以恢复数据对我们关于$\Vtheta$信念的影响： \begin{equation} p(\Vtheta \mid x^{(1)},\dots,x^{(m)}) = \frac{p(x^{(1)},\dots,x^{(m)} \mid \Vtheta) p(\Vtheta)} {p(x^{(1)},\dots,x^{(m)})} \end{equation} 在贝叶斯估计常用的情景下，先验开始是相对均匀的分布或高熵的高斯分布，观测数据通常会使后验的熵下降，并集中在参数的几个可能性很高的值。

相对于最大似然估计，贝叶斯估计有两个重要区别。第一，不像最大似然方法预测时使用$\Vtheta$的点估计，贝叶斯方法使用$\Vtheta$的全分布。例如，在观测到$m$个样本后，下一个数据样本~$x^{(m+1)}$的预测分布如下： \begin{equation} p(x^{(m+1)} \mid x^{(1)},\dots,x^{(m)}) = \int p(x^{(m+1)} \mid \Vtheta) p(\Vtheta \mid x^{(1)},\dots,x^{(m)})~d\Vtheta . \end{equation} 这里，每个具有正概率密度的$\Vtheta$的值有助于下一个样本的预测，其中贡献由后验密度本身加权。在观测到数据集 ${ x^{(1)},\dots,x^{(m)}}$之后，如果我们仍然非常不确定$\Vtheta$的值，那么这个不确定性会直接包含在我们所做的任何预测中。

在\sec?中，我们已经探讨频率派方法解决给定点估计$\Vtheta$的不确定性的方法是评估方差，估计的方差评估了观测数据重新从观测数据中采样后，估计可能如何变化。对于如何处理估计不确定性的这个问题，贝叶斯派的答案是积分，这往往会防止过拟合。当然，积分仅仅是概率法则的应用，使贝叶斯方法容易验证，而频率派机器学习基于相当特别的决定构建了一个估计，将数据集里的所有信息归纳到一个单独的点估计。

贝叶斯方法和最大似然方法的第二个最大区别是由贝叶斯先验分布造成的。先验能够影响概率质量密度朝参数空间中偏好先验的区域偏移。实践中，先验通常表现为偏好更简单或更光滑的模型。对贝叶斯方法的批判认为先验是人为主观判断影响预测的来源。

当训练数据很有限时，贝叶斯方法通常泛化得更好，但是当训练样本数目很大时，通常会有很大的计算代价。

\paragraph{示例：贝叶斯线性回归} 我们使用贝叶斯估计方法学习线性回归的参数。在线性回归中，我们学习从输入向量$\Vx\in\SetR^n$预测标量$y\in\SetR$的线性映射。该预测由向量$\Vw \in \SetR^n$参数化： \begin{equation} \hat{y} = \Vw^\Tsp \Vx . \end{equation} 给定一组$m$个训练样本$(\MX^{(\text{train})}, \Vy^{(\text{train})})$，我们可以表示整个训练集对$y$的预测： \begin{equation} \hat{\Vy}^{(\text{train})} = \MX^{(\text{train})} \Vw . \end{equation} 表示为$\Vy^{(\text{train})}$上的高斯条件分布，我们得到 \begin{align} p(\Vy^{(\text{train})} \mid \MX^{(\text{train})}, \Vw) &= \mathcal{N}( \Vy^{(\text{train})}; \MX^{(\text{train})}\Vw, \MI )
& \propto \exp\left( -\frac{1}{2}( \Vy^{(\text{train})} - \MX^{(\text{train})}\Vw )^\Tsp ( \Vy^{(\text{train})} - \MX^{(\text{train})}\Vw ) \right), \end{align} 其中，我们根据标准的\,MSE\,公式假设$y$上的高斯方差为$1$。在下文中，为减少符号负担，我们将$(\MX^{(\text{train})}, \Vy^{(\text{train})})$简单表示为$(\MX, \Vy)$。

为确定模型参数向量$\Vw$的后验分布，我们首先需要指定一个先验分布。先验应该反映我们对这些参数取值的信念。虽然有时将我们的先验信念表示为模型的参数很难或很不自然，但在实践中我们通常假设一个相当广泛的分布来表示$\Vtheta$的高度不确定性。实数值参数通常使用高斯作为先验分布： \begin{equation} p(\Vw) = \mathcal{N}( \Vw; \Vmu_0, \VLambda_0 ) \propto \exp\left( -\frac{1}{2}( \Vw-\Vmu_0 )^\Tsp \VLambda_0^{-1} ( \Vw-\Vmu_0 ) \right), \end{equation} 其中，$\Vmu_0$和$\VLambda_0$分别是先验分布的均值向量和协方差矩阵。 \footnote{除非有理由使用协方差矩阵的特定结构，我们通常假设其为对角协方差矩阵 $\VLambda_0=\text{diag}(\Vlambda_0)$。 }

确定好先验后，我们现在可以继续确定模型参数的\textbf{后验}\emph{分布}。 \begin{align} p(\Vw \mid \MX, \Vy) &\propto p(\Vy \mid \MX, \Vw) p(\Vw)
& \propto \exp\left( -\frac{1}{2} ( \Vy - \MX\Vw )^\Tsp( \Vy - \MX\Vw ) \right) \exp\left( -\frac{1}{2} ( \Vw - \Vmu_0)^\Tsp \VLambda_0^{-1} ( \Vw - \Vmu_0) \right)
& \propto \exp \left( -\frac{1}{2}\left( -2\Vy^\Tsp\MX\Vw + \Vw^\Tsp\MX^\Tsp\MX\Vw + \Vw^\Tsp\VLambda_0^{-1}\Vw - 2\Vmu_0^\Tsp \VLambda_0^{-1}\Vw \right) \right). \end{align} 现在我们定义$\VLambda_m = (\MX^\Tsp\MX + \VLambda_0^{-1})^{-1}$和$\Vmu_m = \VLambda_m ( \MX^\Tsp \Vy + \VLambda_0^{-1}\Vmu_0 )$。使用这些新的变量，我们发现后验可改写为高斯分布： \begin{align} p(\Vw \mid \MX, \Vy) &\propto \exp \left( -\frac{1}{2} (\Vw - \Vmu_m )^\Tsp \VLambda_m^{-1} (\Vw - \Vmu_m ) + \frac{1}{2} \Vmu_m^\Tsp \VLambda_m^{-1} \Vmu_m \right)
&\propto \exp\left( -\frac{1}{2} (\Vw - \Vmu_m)^\Tsp \VLambda_m^{-1} (\Vw - \Vmu_m) \right). \end{align} 分布的积分必须归一这个事实意味着要删去所有不包括参数向量$\Vw$的项。 \eqn?显示了如何标准化多元高斯分布。

检查此后验分布可以让我们获得贝叶斯推断效果的一些直觉。大多数情况下，我们设置$\Vmu_0 = 0$。如果我们设置$\VLambda_0 = \frac{1}{\alpha}\MI$，那么$\mu_m$对$\Vw$的估计就和频率派带权重衰减惩罚$\alpha\Vw^\Tsp\Vw$的线性回归的估计是一样的。一个区别是若$\alpha$设为$0$则贝叶斯估计是未定义的——我们不能将贝叶斯学习过程初始化为一个无限宽的$\Vw$先验。更重要的区别是贝叶斯估计会给出一个协方差矩阵，表示$\Vw$所有不同值的可能范围，而不仅是估计$\mu_m$。

最大后验(MAP)估计

原则上，我们应该使用参数$\Vtheta$的完整贝叶斯后验分布进行预测，但单点估计常常也是需要的。希望使用点估计的一个常见原因是，对于大多数有意义的模型而言，大多数涉及到贝叶斯后验的计算是非常棘手的，点估计提供了一个可行的近似解。我们仍然可以让先验影响点估计的选择来利用贝叶斯方法的优点，而不是简单地回到最大似然估计。一种能够做到这一点的合理方式是选择最大后验点估计。 MAP\,估计选择后验概率最大的点（或在$\Vtheta$是连续值的更常见情况下，概率密度最大的点）： \begin{equation} \Vtheta_{\text{MAP}} = \underset{\Vtheta}{\argmax} \, p(\Vtheta\mid\Vx) = \underset{\Vtheta}{\argmax} \, \log p(\Vx \mid \Vtheta) + \log p(\Vtheta) . \end{equation} 我们可以认出上式右边的$\log p(\Vx \mid \Vtheta)$对应着标准的对数似然项，$\log p(\Vtheta)$对应着先验分布。

例如，考虑具有高斯先验权重$\Vw$的线性回归模型。如果先验是$\mathcal{N}(\Vw;\mathbf{0},\frac{1}{\lambda}I^2)$，那么\eqn?的对数先验项正比于熟悉的权重衰减惩罚$\lambda \Vw^\Tsp\Vw$，加上一个不依赖于$\Vw$也不会影响学习过程的项。因此，具有高斯先验权重的MAP~贝叶斯推断对应着权重衰减。

正如全贝叶斯推断，MAP\,贝叶斯推断的优势是能够利用来自先验的信息，这些信息无法从训练数据中获得。该附加信息有助于减少最大后验点估计的方差（相比于ML估计）。然而，这个优点的代价是增加了偏差。

许多正规化估计方法，例如权重衰减正则化的最大似然学习，可以被解释为贝叶斯推断的\,MAP\,近似。这个适应于正则化时加到目标函数的附加项对应着$\log p(\Vtheta)$。并非所有的正则化惩罚都对应着~MAP~贝叶斯推断。例如，有些正则化项可能不是一个概率分布的对数。还有些正则化项依赖于数据，当然也不会是一个先验概率分布。

MAP\,贝叶斯推断提供了一个直观的方法来设计复杂但可解释的正则化项。例如，更复杂的惩罚项可以通过混合高斯分布作为先验得到，而不是一个单独的高斯分布{cite?}。

监督学习算法

回顾\sec?，粗略地说，监督学习算法是给定一组输入$\Vx$和输出$\Vy$的训练集，学习如何关联输入和输出。在许多情况下，输出$\Vy$很难自动收集，必须由人来提供”监督”，不过该术语仍然适用于训练集目标可以被自动收集的情况。

概率监督学习

本书的大部分监督学习算法都是基于估计概率分布$p(y\mid\Vx)$的。我们可以使用最大似然估计找到对于有参分布族$p(y\mid\Vx;\Vtheta)$最好的参数向量$\Vtheta$。

我们已经看到，线性回归对应于分布族 \begin{equation} p(y \mid \Vx; \Vtheta) = \mathcal{N}( y; \Vtheta^\Tsp \Vx, \MI). \end{equation} 通过定义一族不同的概率分布，我们可以将线性回归扩展到分类情况中。如果我们有两个类，类$0$和类$1$，那么我们只需要指定这两类之一的概率。类$1$的概率决定了类$0$的概率，因为这两个值加起来必须等于$1$。

我们用于线性回归的实数正态分布是用均值参数化的。我们提供这个均值的任何值都是有效的。二元变量上的分布稍微复杂些，因为它的均值必须始终在$0$和$1$之间。解决这个问题的一种方法是使用~logistic sigmoid~函数将线性函数的输出压缩进区间$(0,1)$。该值可以解释为概率： \begin{equation} p(y = 1 \mid \Vx; \Vtheta) = \sigma(\Vtheta^\Tsp \Vx). \end{equation} 这个方法被称为逻辑回归，这个名字有点奇怪，因为该模型用于分类而非回归。

线性回归中，我们能够通过求解正规方程以找到最佳权重。相比而言，逻辑回归会更困难些。其最佳权重没有闭解。反之，我们必须最大化对数似然来搜索最优解。我们可以通过梯度下降算法最小化负对数似然来搜索。

通过确定正确的输入和输出变量上的有参条件概率分布族，相同的策略基本上可以用于任何监督学习问题。

支持向量机

支持向量机是监督学习中最有影响力的方法之一{cite?}。类似于逻辑回归，这个模型也是基于线性函数$\Vw^\Tsp \Vx + b$的。不同于逻辑回归的是，支持向量机不输出概率，只输出类别。当$\Vw^\Tsp\Vx + b$为正时，支持向量机预测属于正类。类似地，当$\Vw^\Tsp\Vx + b$为负时，支持向量机预测属于负类。

支持向量机的一个重要创新是核技巧。核技巧观察到许多机器学习算法都可以写成样本间点积的形式。例如，支持向量机中的线性函数可以重写为 \begin{equation} \Vw^\Tsp \Vx + b = b + \sum_{i=1}^m \alpha_i \Vx^\Tsp \Vx^{(i)} , \end{equation} 其中，$\Vx^{(i)}$是训练样本，$\Valpha$是系数向量。学习算法重写为这种形式允许我们将$\Vx$替换为特征函数$\phi(\Vx)$的输出，点积替换为被称为核函数的函数$k(\Vx, \Vx^{(i)}) = \phi(\Vx)\cdot \phi(\Vx^{(i)})$。运算符$\cdot$表示类似于$\phi(\Vx)^\Tsp \phi(\Vx^{(i)})$的点积。对于某些特征空间，我们可能不会书面地使用向量内积。在某些无限维空间中，我们需要使用其他类型的内积，如基于积分而非加和的内积。这种类型内积的完整介绍超出了本书的范围。

使用核估计替换点积之后，我们可以使用如下函数进行预测 \begin{equation} f(\Vx) = b + \sum_i \alpha_i k(\Vx, \Vx^{(i)}) . \end{equation} 这个函数关于$\Vx$是非线性的，关于$\phi(\Vx)$是线性的。 $\Valpha$和$f(\Vx)$之间的关系也是线性的。核函数完全等价于用$\phi(\Vx)$预处理所有的输入，然后在新的转换空间学习线性模型。

核技巧十分强大有两个原因。首先，它使我们能够使用保证有效收敛的凸优化技术来学习非线性模型（关于$\Vx$的函数）。这是可能的，因为我们可以认为$\phi$是固定的，仅优化$\alpha$，即优化算法可以将决策函数视为不同空间中的线性函数。其二，核函数$k$的实现方法通常有比直接构建$\phi(\Vx)$再算点积高效很多。

在某些情况下，$\phi(\Vx)$甚至可以是无限维的，对于普通的显式方法而言，这将是无限的计算代价。在很多情况下，即使$\phi(\Vx)$是难算的，$k(\Vx,\Vx’)$却会是一个关于$\Vx$非线性的、易算的函数。举个无限维空间易算的核的例子，我们构建一个作用于非负整数$x$上的特征映射$\phi(x)$。假设这个映射返回一个由开头$x$个$1$，随后是无限个$0$的向量。我们可以写一个核函数$k(x,x^{(i)}) = \min(x, x^{(i)})$，完全等价于对应的无限维点积。

最常用的核函数是高斯核， \begin{equation} k(\Vu, \Vv) = \mathcal{N} (\Vu - \Vv; \mathbf{0}, \sigma^2 I) , \end{equation} 其中$\mathcal{N}(x; \Vmu, \VSigma)$是标准正态密度。这个核也被称为径向基函数核，因为其值沿$\Vv$中从$\Vu$向外辐射的方向减小。高斯核对应于无限维空间中的点积，但是该空间的推导没有整数上最小核的示例那么直观。

我们可以认为高斯核在执行一种\textbf{模板匹配}(template matching)。训练标签 $y$相关的训练样本 $\Vx$变成了类别$y$的模版。当测试点$\Vx’$到$\Vx$的欧几里得距离很小，对应的高斯核响应很大时，表明$\Vx’$和模版$\Vx$非常相似。该模型进而会赋予相对应的训练标签 $y$较大的权重。总的来说，预测将会组合很多这种通过训练样本相似度加权的训练标签。

支持向量机不是唯一可以使用核技巧来增强的算法。许多其他的线性模型也可以通过这种方式来增强。使用核技巧的算法类别被称为核机器或核方法{cite?}。

核机器的一个主要缺点是计算决策函数的成本关于训练样本的数目是线性的。因为第$i$个样本贡献$\alpha_i k(\Vx, \Vx^{(i)})$到决策函数。支持向量机能够通过学习主要包含零的向量$\Valpha$，以缓和这个缺点。那么判断新样本的类别仅需要计算非零$\alpha_i$对应的训练样本的核函数。这些训练样本被称为支持向量。

当数据集很大时，核机器的计算量也会很大。我们将会在\sec?回顾这个想法。带通用核的核机器致力于泛化得更好。我们将在\sec?解释原因。现代深度学习的设计旨在克服核机器的这些限制。当前深度学习的复兴始于~{Hinton06-small}表明神经网络能够在MNIST基准数据上胜过RBF核的支持向量机。

其他简单的监督学习算法

我们已经简要介绍过另一个非概率监督学习算法，最近邻回归。更一般地，k-最近邻是一类可用于分类或回归的技术。作为一个非参数学习算法，$k$-最近邻并不局限于固定数目的参数。我们通常认为$k$-最近邻算法没有任何参数，而是使用训练数据的简单函数。事实上，它甚至也没有一个真正的训练阶段或学习过程。反之，在测试阶段我们希望在新的测试输入$\Vx$上产生$y$，我们需要在训练数据$\MX$上找到$\Vx$的$k$-最近邻。然后我们返回训练集上对应的$y$值的平均值。这几乎适用于任何类型可以确定$y$值平均值的监督学习。在分类情况中，我们可以关于~one-hot~编码向量$\Vc$求平均，其中$c_y = 1$，其他的$i$值取$c_i=0$。然后，我们可以解释这些~one-hot~编码的均值为类别的概率分布。作为一个非参数学习算法，$k$-近邻能达到非常高的容量。例如，假设我们有一个用$0$-$1$误差度量性能的多分类任务。在此设定中，当训练样本数目趋向于无穷大时，$1$-最近邻收敛到两倍贝叶斯误差。超出贝叶斯误差的原因是它会随机从等距离的临近点中随机挑一个。而存在无限的训练数据时，所有测试点$\Vx$周围距离为零的邻近点有无限多个。如果我们使用所有这些临近点投票的决策方式，而不是随机挑选一个，那么该过程将会收敛到贝叶斯错误率。 $k$-最近邻的高容量使其在训练样本数目大时能够获取较高的精度。然而，它的计算成本很高，另外在训练集较小时泛化能力很差。 $k$-最近邻的一个弱点是它不能学习出哪一个特征比其他更具识别力。例如，假设我们要处理一个的回归任务，其中$\Vx\in\SetR^{100}$是从各向同性的高斯分布中抽取的，但是只有一个变量$x_1$和结果相关。进一步假设该特征直接决定了输出，即在所有情况中$y=x_1$。最近邻回归不能检测到这个简单模式。大多数点$\Vx$的最近邻将取决于$x_2$到$x_{100}$的大多数特征，而不是单独取决于特征 $x_1$。因此，小训练集上的输出将会非常随机。

决策树及其变种是另一类将输入空间分成不同的区域，每个区域有独立参数的算法{cite?}。如\fig?所示，决策树的每个节点都与输入空间的一个区域相关联，并且内部节点继续将区域分成子节点下的子区域（通常使用坐标轴拆分区域）。空间由此细分成不重叠的区域，叶节点和输入区域之间形成一一对应的关系。每个叶结点将其输入区域的每个点映射到相同的输出。决策树通常有特定的训练算法，超出了本书的范围。如果允许学习任意大小的决策树，那么它可以被视作非参数算法。然而实践中通常有大小限制，作为正则化项将其转变成有参模型。由于决策树通常使用坐标轴相关的拆分，并且每个子节点关联到常数输出，因此有时解决一些对于逻辑回归很简单的问题很费力。例如，假设有一个二分类问题，当$x_2>x_1$时分为正类，则决策树的分界不是坐标轴对齐的。因此，决策树将需要许多节点近似决策边界，坐标轴对齐使其算法步骤不断地来回穿梭于真正的决策函数。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics{Chapter5/figures/decision_tree}} \fi \caption{描述一个决策树如何工作的示意图。\emph{(上)}树中每个节点都选择将输入样本送到左子节点($0$)或者右子节点($1$)。内部的节点用圆圈表示，叶节点用方块表示。每一个节点可以用一个二值的字符串识别并对应树中的位置，这个字符串是通过给起父亲节点的字符串添加一个位元来实现的（$0$表示选择左或者上，$1$表示选择右或者下）。\emph{(下)}这个树将空间分为区域。这个二维平面说明决策树可以分割$\SetR^2$。这个平面中画出了树的节点，每个内部点穿过分割线并用来给样本分类，叶节点画在样本所属区域的中心。结果是一个分块常数函数，每一个叶节点一个区域。每个叶需要至少一个训练样本来定义，所以决策树不可能用来学习一个局部极大值比训练样本数量还多的函数。} \end{figure}

正如我们已经看到的，最近邻预测和决策树都有很多的局限性。尽管如此，在计算资源受限制时，它们都是很有用的学习算法。通过思考复杂算法和$k$-最近邻或决策树之间的相似性和差异，我们可以建立对更复杂学习算法的直觉。

读者可以参考~{MurphyBook2012,bishop-book2006,Hastie2001}或其他机器学习教科书了解更多的传统监督学习算法。

无监督学习算法

回顾\sec?，无监督算法只处理”特征”，不操作监督信号。监督和无监督算法之间的区别没有规范严格的定义，因为没有客观的判断来区分监督者提供的值是特征还是目标。通俗地说，无监督学习的大多数尝试是指从不需要人为注释的样本的分布中抽取信息。该术语通常与密度估计相关，学习从分布中采样、学习从分布中去噪、寻找数据分布的流形或是将数据中相关的样本聚类。

一个经典的无监督学习任务是找到数据的”最佳”表示。 “最佳”可以是不同的表示，但是一般来说，是指该表示在比本身表示的信息\emph{更简单}或更易访问而受到一些惩罚或限制的情况下，尽可能地保存关于$\Vx$更多的信息。

有很多方式定义较简单的表示。最常见的三种包括低维表示、稀疏表示和独立表示。低维表示尝试将$\Vx$中的信息尽可能压缩在一个较小的表示中。稀疏表示将数据集嵌入到输入项大多数为零的表示中{cite?}。稀疏表示通常用于需要增加表示维数的情况，使得大部分为零的表示不会丢失很多信息。这会使得表示的整体结构倾向于将数据分布在表示空间的坐标轴上。独立表示试图\emph{分开}数据分布中变化的来源，使得表示的维度是统计独立的。

当然这三个标准并非相互排斥的。低维表示通常会产生比原始的高维数据具有较少或较弱依赖关系的元素。这是因为减少表示大小的一种方式是找到并消除冗余。识别并去除更多的冗余使得降维算法在丢失更少信息的同时显现更大的压缩。

表示的概念是深度学习核心主题之一，因此也是本书的核心主题之一。本节会介绍表示学习算法中的一些简单示例。总的来说，这些示例算法会说明如何实施上面的三个标准。剩余的大部分章节会介绍额外的表示学习算法，它们以不同方式处理这三个标准或是引入其他标准。

主成分分析

在\sec?中，我们看到\,PCA\,算法提供了一种压缩数据的方式。我们也可以将\,PCA\,视为学习数据表示的无监督学习算法。这种表示基于上述简单表示的两个标准。 \,PCA\,学习一种比原始输入维数更低的表示。它也学习了一种元素之间彼此没有线性相关的表示。这是学习表示中元素统计独立标准的第一步。要实现完全独立性，表示学习算法也必须去掉变量间的非线性关系。

如\fig?所示，PCA\,将输入$\Vx$投影表示成$\Vz$，学习数据的正交线性变换。在\sec?中，我们看到了如何学习重建原始数据的最佳一维表示（就均方误差而言），这种表示其实对应着数据的第一个主要成分。因此，我们可以用\,PCA\,作为保留数据尽可能多信息的降维方法（再次就最小重构误差平方而言）。在下文中，我们将研究\,PCA\,表示如何使原始数据表示$\MX$去相关的.

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics{Chapter5/figures/pca_color}} \fi \caption{PCA\,学习一种线性投影，使最大方差的方向和新空间的轴对齐。\emph{(左)}原始数据包含了$\Vx$的样本。在这个空间中，方差的方向与轴的方向并不是对齐的。\emph{(右)}变换过的数据$\Vz = \Vx^{\top}\MW$在轴$z_1$的方向上有最大的变化。第二大变化方差的方向沿着轴$z_2$。} \end{figure}

假设有一个$m\times n$的设计矩阵 $\MX$，数据的均值为零，$\SetE[\Vx\,] = 0$。若非如此，通过预处理步骤使所有样本减去均值，数据可以很容易地中心化。

$\MX$对应的无偏样本协方差矩阵给定如下 \begin{equation} \text{Var}[\Vx\,] = \frac{1}{m-1} \MX^\Tsp \MX . \end{equation} PCA\,通过线性变换找到一个$\text{Var}[\Vz]$是对角矩阵的表示$\Vz=\MW^\Tsp\Vx$。

在\sec?，我们已知设计矩阵 $\MX$的主成分由$\MX^\Tsp\MX$的特征向量给定。从这个角度，我们有 \begin{equation} \MX^\Tsp\MX = \MW \VLambda \MW^\Tsp . \end{equation} 本节中，我们会探索主成分的另一种推导。主成分也可以通过奇异值分解(SVD)得到。具体来说，它们是$\MX$的右奇异向量。为了说明这点，假设$\MW$是奇异值分解$\MX = \MU\VSigma\MW^\Tsp$的右奇异向量。以$\MW$作为特征向量基，我们可以得到原来的特征向量方程： \begin{equation} \MX^\Tsp\MX = \left( \MU\VSigma \MW^\Tsp \right)^\Tsp \MU\VSigma \MW^\Tsp = \MW \VSigma^2 \MW^\Tsp . \end{equation}

SVD\,有助于说明\,PCA\,后的$\text{Var}[\Vz]$是对角的。使用$\MX$的\,SVD\,分解，$\MX$的方差可以表示为 \begin{align} \text{Var}[\Vx] &= \frac{1}{m-1} \MX^\Tsp\MX
&= \frac{1}{m-1} \left( \MU\VSigma \MW^\Tsp \right)^\Tsp \MU\VSigma \MW^\Tsp
&= \frac{1}{m-1} \MW \VSigma^\Tsp \MU^\Tsp \MU\VSigma \MW^\Tsp
&= \frac{1}{m-1} \MW \VSigma^2 \MW^\Tsp , \end{align} 其中，我们使用$\MU^\Tsp\MU = \MI$，因为根据奇异值的定义矩阵$\MU$是正交的。这表明$\Vz$的协方差满足对角的要求： \begin{align} \text{Var}[\Vz] &= \frac{1}{m-1} \MZ^\Tsp\MZ
&= \frac{1}{m-1} \MW^\Tsp \MX^\Tsp \MX \MW
&= \frac{1}{m-1} \MW^\Tsp\MW \VSigma^2 \MW^\Tsp\MW
&= \frac{1}{m-1} \VSigma^2 , \end{align} 其中，再次使用\,SVD\,的定义有$\MW^\Tsp\MW = \MI$。

以上分析指明当我们通过线性变换$\MW$将数据$\Vx$投影到$\Vz$时，得到的数据表示的协方差矩阵是对角的（即$\VSigma^2$），立刻可得$\Vz$中的元素是彼此无关的。

PCA\,这种将数据变换为元素之间彼此不相关表示的能力是\,PCA\,的一个重要性质。它是\emph{消除数据中未知变化因素}的简单表示示例。在\,PCA\,中，这个消除是通过寻找输入空间的一个旋转（由$\MW$确定），使得方差的主坐标和$\Vz$相关的新表示空间的基对齐。

虽然相关性是数据元素间依赖关系的一个重要范畴，但我们对于能够消除更复杂形式的特征依赖的表示学习也很感兴趣。对此，我们需要比简单线性变换更强的工具。

$k$-均值聚类

另外一个简单的表示学习算法是$k$-均值聚类。 $k$-均值聚类算法将训练集分成$k$个靠近彼此的不同样本聚类。因此我们可以认为该算法提供了$k$-维的~one-hot~编码向量$\Vh$以表示输入$\Vx$。当$\Vx$属于聚类$i$时，有$h_i=1$，$\Vh$的其他项为零。

$k$-均值聚类提供的~one-hot~编码也是一种稀疏表示，因为每个输入的表示中大部分元素为零。之后，我们会介绍能够学习更灵活的稀疏表示的一些其他算法（表示中每个输入$\Vx$不只一个非零项）。 one-hot~编码是稀疏表示的一个极端示例，丢失了很多分布式表示的优点。 one-hot~编码仍然有一些统计优点（自然地传达了相同聚类中的样本彼此相似的观点），也具有计算上的优势，因为整个表示可以用一个单独的整数表示。

$k$-均值聚类初始化$k$个不同的中心点${\Vmu^{(1)},\dots,\Vmu^{(k)}}$，然后迭代交换两个不同的步骤直到收敛。步骤一，每个训练样本分配到最近的中心点$\Vmu^{(i)}$所代表的聚类$i$。步骤二，每一个中心点$\Vmu^{(i)}$更新为聚类$i$中所有训练样本 $\Vx^{(j)}$的均值。

关于聚类的一个问题是聚类问题本身是病态的。这是说没有单一的标准去度量聚类的数据在真实世界中效果如何。我们可以度量聚类的性质，例如类中元素到类中心点的欧几里得距离的均值。这使我们可以判断从聚类分配中重建训练数据的效果如何。然而我们不知道聚类的性质是否很好地对应到真实世界的性质。此外，可能有许多不同的聚类都能很好地对应到现实世界的某些属性。我们可能希望找到和一个特征相关的聚类，但是得到了一个和任务无关的，同样是合理的不同聚类。例如，假设我们在包含红色卡车图片、红色汽车图片、灰色卡车图片和灰色汽车图片的数据集上运行两个聚类算法。如果每个聚类算法聚两类，那么可能一个算法将汽车和卡车各聚一类，另一个根据红色和灰色各聚一类。假设我们还运行了第三个聚类算法，用来决定类别的数目。这有可能聚成了四类，红色卡车、红色汽车、灰色卡车和灰色汽车。现在这个新的聚类至少抓住了属性的信息，但是丢失了相似性信息。红色汽车和灰色汽车在不同的类中，正如红色汽车和灰色卡车也在不同的类中。该聚类算法没有告诉我们灰色汽车和红色汽车的相似度比灰色卡车和红色汽车的相似度更高。我们只知道它们是不同的。

这些问题说明了一些我们可能更偏好于分布式表示（相对于~one-hot~表示而言）的原因。分布式表示可以对每个车辆赋予两个属性——一个表示它颜色，一个表示它是汽车还是卡车。目前仍然不清楚什么是最优的分布式表示（学习算法如何知道我们关心的两个属性是颜色和是否汽车或卡车，而不是制造商和车龄？），但是多个属性减少了算法去猜我们关心哪一个属性的负担，允许我们通过比较很多属性而非测试一个单一属性来细粒度地度量相似性。

随机梯度下降

几乎所有的深度学习算法都用到了一个非常重要的算法：随机梯度下降。随机梯度下降是\sec?介绍的梯度下降算法的一个扩展。

机器学习中反复出现的一个问题是好的泛化需要大的训练集，但大的训练集的计算代价也更大。

机器学习算法中的代价函数通常可以分解成每个样本的代价函数的总和。例如，训练数据的负条件对数似然可以写成 \begin{equation} J(\Vtheta) = \SetE_{\RVx,\RSy \sim \hat{p}{\text{data}}} L(\Vx, y, \Vtheta) = \frac{1}{m} \sum{i=1}^m L(\Vx^{(i)}, y^{(i)}, \Vtheta) , \end{equation} 其中$L$是每个样本的损失$L(\Vx, y, \Vtheta) = -\log p(y\mid\Vx;\Vtheta)$。

对于这些相加的代价函数，梯度下降需要计算 \begin{equation} \nabla_{\Vtheta} J(\Vtheta) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m
\nabla_{\Vtheta} L(\Vx^{(i)}, y^{(i)}, \Vtheta) . \end{equation} 这个运算的计算代价是$O(m)$。随着训练集规模增长为数十亿的样本，计算一步梯度也会消耗相当长的时间。

随机梯度下降的核心是，梯度是期望。期望可使用小规模的样本近似估计。具体而言，在算法的每一步，我们从训练集中均匀抽出一小批量样本 $\SetB={\Vx^{(1)},\dots,\Vx^{(m’)}}$。小批量的数目$m’$通常是一个相对较小的数，从一到几百。重要的是，当训练集大小$m$增长时，$m’$通常是固定的。我们可能在拟合几十亿的样本时，每次更新计算只用到几百个样本。

梯度的估计可以表示成 \begin{equation} \Vg = \frac{1}{m’} \nabla_{\Vtheta} \sum_{i=1}^{m’} L(\Vx^{(i)}, y^{(i)}, \Vtheta). \end{equation} 使用来自小批量 $\SetB$的样本。然后，随机梯度下降算法使用如下的梯度下降估计： \begin{equation} \Vtheta \leftarrow \Vtheta - \epsilon \Vg, \end{equation} 其中，$\epsilon$是学习率。

梯度下降往往被认为很慢或不可靠。以前，将梯度下降应用到非凸优化问题被认为很鲁莽或没有原则。现在，我们知道梯度下降用于本书第二部分中的训练时效果不错。优化算法不一定能保证在合理的时间内达到一个局部最小值，但它通常能及时地找到代价函数一个很小的值，并且是有用的。

随机梯度下降在深度学习之外有很多重要的应用。它是在大规模数据上训练大型线性模型的主要方法。对于固定大小的模型，每一步随机梯度下降更新的计算量不取决于训练集的大小$m$。在实践中，当训练集大小增长时，我们通常会使用一个更大的模型，但这并非是必须的。达到收敛所需的更新次数通常会随训练集规模增大而增加。然而，当$m$趋向于无穷大时，该模型最终会在随机梯度下降抽样完训练集上的所有样本之前收敛到可能的最优测试误差。继续增加$m$不会延长达到模型可能的最优测试误差的时间。从这点来看，我们可以认为用\,SGD\,训练模型的渐近代价是关于$m$的函数的$O(1)$级别。

在深度学习兴起之前，学习非线性模型的主要方法是结合核技巧的线性模型。很多核学习算法需要构建一个$m\times m$的矩阵$G_{i,j}=k(\Vx^{(i)}, \Vx^{(j)})$。构建这个矩阵的计算量是$O(m^2)$。当数据集是几十亿个样本时，这个计算量是不能接受的。在学术界，深度学习从2006年开始受到关注的原因是，在数以万计样本的中等规模数据集上，深度学习在新样本上比当时很多热门算法泛化得更好。不久后，深度学习在工业界受到了更多的关注，因为其提供了一种训练大数据集上的非线性模型的可扩展方式。

我们将会在\chap?继续探讨随机梯度下降及其很多改进方法。

构建机器学习算法

几乎所有的深度学习算法都可以被描述为一个相当简单的配方：特定的数据集、代价函数、优化过程和模型。

例如，线性回归算法由以下部分组成：$\MX$和$\Vy$构成的数据集，代价函数 \begin{equation} J(\Vw, b) = -\SetE_{\RVx,\RSy\sim\hat{p}{\text{data}}} \log p{\text{model}} (y \mid \Vx) , \end{equation} 模型是$p_{\text{model}} (y \mid \Vx) = \mathcal{N}(y; \Vx^\Tsp \Vw + b, 1)$，在大多数情况下，优化算法可以定义为求解代价函数梯度为零的正规方程。

意识到我们可以替换独立于其他组件的大多数组件，因此我们能得到很多不同的算法。

通常代价函数至少含有一项使学习过程进行统计估计的成分。最常见的代价函数是负对数似然，最小化代价函数导致的最大似然估计。

代价函数也可能含有附加项，如正则化项。例如，我们可以将权重衰减加到线性回归的代价函数中 \begin{equation} J(\Vw, b) = \lambda \norm{\Vw}2^2 - \SetE{\RVx,\RSy\sim \hat{p}{\text{data}}} \log p{\text{model}} (y \mid \Vx) . \end{equation} 该优化仍然有闭解。

如果我们将该模型变成非线性的，那么大多数代价函数不再能通过闭解优化。这就要求我们选择一个迭代数值优化过程，如梯度下降等。

组合模型、代价和优化算法来构建学习算法的配方同时适用于监督学习和无监督学习。线性回归示例说明了如何适用于监督学习的。无监督学习时，我们需要定义一个只包含$\MX$的数据集、一个合适的无监督代价和一个模型。例如，通过指定如下损失函数可以得到\,PCA\,的第一个主向量 \begin{equation} J(\Vw) = \SetE_{\RVx \sim \hat{p}_{\text{data}}} \norm{\Vx - r(\Vx; \Vw)}_2^2 \end{equation} 模型定义为重构函数$r(\Vx) = \Vw^\Tsp\Vx \,\Vw$，并且$\Vw$有范数为$1$的限制。

在某些情况下，由于计算原因，我们不能实际计算代价函数。在这种情况下，只要我们有近似其梯度的方法，那么我们仍然可以使用迭代数值优化近似最小化目标。

尽管有时候不显然，但大多数学习算法都用到了上述配方。如果一个机器学习算法看上去特别独特或是手动设计的，那么通常需要使用特殊的优化方法进行求解。有些模型，如决策树或$k$-均值，需要特殊的优化，因为它们的代价函数有平坦的区域，使其不适合通过基于梯度的优化去最小化。在我们认识到大部分机器学习算法可以使用上述配方描述之后，我们可以将不同算法视为出于相同原因解决相关问题的一类方法，而不是一长串各个不同的算法。

促使深度学习发展的挑战

本章描述的简单机器学习算法在很多不同的重要问题上效果都良好。但是它们不能成功解决人工智能中的核心问题，如语音识别或者对象识别。

深度学习发展动机的一部分原因是传统学习算法在这类人工智能问题上泛化能力不足。

本节介绍为何处理高维数据时在新样本上泛化特别困难，以及为何在传统机器学习中实现泛化的机制不适合学习高维空间中复杂的函数。这些空间经常涉及巨大的计算代价。深度学习旨在克服这些以及其他一些难题。

维数灾难

当数据的维数很高时，很多机器学习问题变得相当困难。这种现象被称为维数灾难。特别值得注意的是，一组变量不同的可能配置数量会随着变量数目的增加而指数级增长。

维数灾难发生在计算机科学的许多地方，在机器学习中尤其如此。

由维数灾难带来的一个挑战是统计挑战。如\fig?所示，统计挑战产生于$\Vx$的可能配置数目远大于训练样本的数目。为了充分理解这个问题，我们假设输入空间如图所示被分成单元格。空间是低维时，我们可以用由大部分数据占据的少量单元格去描述这个空间。泛化到新数据点时，通过检测和新输入点在相同单元格中的训练样本，我们可以判断如何处理新数据点。例如，如果要估计某点$\Vx$处的概率密度，我们可以返回$\Vx$处单位体积单元格内训练样本的数目除以训练样本的总数。如果我们希望对一个样本进行分类，我们可以返回相同单元格中训练样本最多的类别。如果我们是做回归分析，我们可以平均该单元格中样本对应的目标值。但是，如果该单元格中没有样本，该怎么办呢？
因为在高维空间中参数配置数目远大于样本数目，大部分单元格中没有样本。我们如何能在这些新配置中找到一些有意义的东西呢？许多传统机器学习算法只是简单地假设在一个新点的输出应大致和最接近的训练点的输出相同。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \begin{tabular}{ccc} \includegraphics[width=0.3\textwidth]{Chapter5/figures/curse_1d_color} & \includegraphics[width=0.3\textwidth]{Chapter5/figures/curse_2d_color} & \includegraphics[width=0.3\textwidth]{Chapter5/figures/curse_3d_color} \end{tabular} \fi \caption{当数据的相关维度增大时（从左向右），我们感兴趣的配置数目会随之指数级增长。\emph{(左)}在这个一维的例子中，我们用一个变量来区分所感兴趣的$10$个区域。当每个区域都有足够的样本数时（每个区域对应图中的一个单元格），学习算法能够轻易地泛化得很好。泛化的一个直接方法是估计目标函数在每个区域的值（可能是在相邻区域之间插值）。\emph{(中)}在二维情况下，对每个变量区分$10$个不同的值更加困难。我们需要追踪$10\times10=100$个区域，至少需要很多样本来覆盖所有的区域。\emph{(右)}三维情况下，区域数量增加到了$10^3=1000$，至少需要那么多的样本。对于需要区分的$d$维以及$v$个值来说，我们需要$O(v^d)$个区域和样本。这就是维数灾难的一个示例。感谢由Nicolas Chapados提供的图片。} \end{figure}

局部不变性和平滑正则化

为了更好地泛化，机器学习算法需要由先验信念引导应该学习什么类型的函数。此前，我们已经看到过由模型参数的概率分布形成的先验。通俗地讲，我们也可以说先验信念直接影响\emph{函数}本身，而仅仅通过它们对函数的影响来间接改变参数。此外，我们还能通俗地说，先验信念还间接地体现在选择一些偏好某类函数的算法，尽管这些偏好并没有通过我们对不同函数置信程度的概率分布表现出来（也许根本没法表现）。

其中最广泛使用的隐式”先验”是平滑先验，或局部不变性先验。这个先验表明我们学习的函数不应在小区域内发生很大的变化。

许多简单算法完全依赖于此先验达到良好的泛化，其结果是不能推广去解决人工智能级别任务中的统计挑战。本书中，我们将介绍深度学习如何引入额外的（显式或隐式的）先验去降低复杂任务中的泛化误差。这里，我们解释为什么仅依靠平滑先验不足以应对这类任务。

有许多不同的方法来显式或隐式地表示学习函数应该具有光滑或局部不变的先验。所有这些不同的方法都旨在鼓励学习过程能够学习出函数$f^$，对于大多数设置$\Vx$和小变动$\epsilon$，都满足条件 \begin{equation} f^(\Vx) \approx f^*(\Vx + \epsilon). \end{equation} 换言之，如果我们知道对应输入$\Vx$的答案（例如，$\Vx$是个有标签的训练样本），那么该答案对于$\Vx$的邻域应该也适用。如果在有些邻域中我们有几个好答案，那么我们可以组合它们（通过某种形式的平均或插值法）以产生一个尽可能和大多数输入一致的答案。

局部不变方法的一个极端例子是$k$-最近邻系列的学习算法。当一个区域里的所有点$\Vx$在训练集中的$k$个最近邻是一样的，那么对这些点的预测也是一样的。当$k=1$时，不同区域的数目不会比训练样本还多。

虽然$k$-最近邻算法复制了附近训练样本的输出，大部分核机器也是在和附近训练样本相关的训练集输出上插值。一类重要的核函数是局部核，其核函数$k(\Vu,\Vv)$在$\Vu=\Vv$时很大，当$\Vu$和$\Vv$距离拉大时而减小。局部核可以看作是执行模版匹配的相似函数，用于度量测试样本 $\Vx$和每个训练样本 $\Vx^{(i)}$有多么相似。近年来深度学习的很多推动力源自研究局部模版匹配的局限性，以及深度学习如何克服这些局限性{cite?}。

决策树也有平滑学习的局限性，因为它将输入空间分成和叶节点一样多的区间，并在每个区间使用单独的参数（或者有些决策树的拓展有多个参数）。如果目标函数需要至少拥有$n$个叶节点的树才能精确表示，那么至少需要$n$个训练样本去拟合。需要几倍于$n$的样本去达到预测输出上的某种统计置信度。

总的来说，区分输入空间中$O(k)$个区间，所有的这些方法需要$O(k)$个样本。通常会有$O(k)$个参数，$O(1)$参数对应于$O(k)$区间之一。最近邻算法中，每个训练样本至多用于定义一个区间，如\fig?所示。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics{Chapter5/figures/non_distributed}} \fi \caption{最近邻算法如何划分输入空间的示例。每个区域内的一个样本（这里用圆圈表示）定义了区域边界（这里用线表示）。每个样本相关的$y$值定义了对应区域内所有数据点的输出。由最近邻定义并且匹配几何模式的区域被称为Voronoi图。这些连续区域的数量不会比训练样本的数量增加得更快。尽管此图具体说明了最近邻算法的效果，其他的单纯依赖局部光滑先验的机器学习算法也表现出了类似的泛化能力：每个训练样本仅仅能告诉学习者如何在其周围的相邻区域泛化。} \end{figure}

有没有什么方法能表示区间数目比训练样本数目还多的复杂函数？显然，只是假设函数的平滑性不能做到这点。例如，想象目标函数作用在西洋跳棋盘上。棋盘包含许多变化，但只有一个简单的结构。想象一下，如果训练样本数目远小于棋盘上的黑白方块数目，那么会发生什么。基于局部泛化和平滑性或局部不变性先验，如果新点和某个训练样本位于相同的棋盘方块中，那么我们能够保证正确地预测新点的颜色。但如果新点所在的方块没有训练样本，学习器不一定能举一反三。如果仅依靠这个先验，一个样本只能告诉我们它所在的方块的颜色。获得整个棋盘颜色的唯一方法是其上的每个方块至少要有一个样本。

只要在要学习的真实函数的峰值和谷值处有足够多的样本，那么平滑性假设和相关的无参数学习算法的效果都非常好。当要学习的函数足够平滑，并且只在少数几维变化，这样做一般没问题。在高维空间中，即使是非常平滑的函数，也会在不同维度上有不同的变化方式。如果函数在不同的区间中表现不一样，那么就非常难用一组训练样本去刻画函数。如果函数是复杂的（我们想区分多于训练样本数目的大量区间），有希望很好地泛化么？

这些问题，即是否可以有效地表示复杂的函数以及所估计的函数是否可以很好地泛化到新的输入，答案是有。关键观点是，只要我们通过额外假设生成数据的分布来建立区域间的依赖关系，那么$O(k)$个样本足以描述多如$O(2^k)$的大量区间。通过这种方式，我们确实能做到非局部的泛化{cite?}。为了利用这些优势，许多不同的深度学习算法都提出了一些适用于多种\,AI\,任务的隐式或显式的假设。

一些其他的机器学习方法往往会提出更强的，针对特定问题的假设。例如，假设目标函数是周期性的，我们很容易解决棋盘问题。通常，神经网络不会包含这些很强的（针对特定任务的）假设，因此神经网络可以泛化到更广泛的各种结构中。人工智能任务的结构非常复杂，很难限制到简单的、人工手动指定的性质，如周期性，因此我们希望学习算法具有更通用的假设。深度学习的核心思想是假设数据由\emph{因素或特征组合}产生，这些因素或特征可能来自一个层次结构的多个层级。许多其他类似的通用假设进一步提高了深度学习算法。这些很温和的假设允许了样本数目和可区分区间数目之间的指数增益。这类指数增益将在\sec?、\sec?和\sec?中更详尽地介绍。深度的分布式表示带来的指数增益有效地解决了维数灾难带来的挑战。

流形学习

流形是一个机器学习中很多想法内在的重要概念。

流形指连接在一起的区域。数学上，它是指一组点，且每个点都有其邻域。给定一个任意的点，其流形局部看起来像是欧几里得空间。日常生活中，我们将地球视为二维平面，但实际上它是三维空间中的球状流形。

每个点周围邻域的定义暗示着存在变换能够从一个位置移动到其邻域位置。例如在地球表面这个流形中，我们可以朝东南西北走。

尽管术语”流形”有正式的数学定义，但是机器学习倾向于更松散地定义一组点，只需要考虑少数嵌入在高维空间中的自由度或维数就能很好地近似。每一维都对应着局部的变化方向。如\fig?所示，训练数据位于二维空间中的一维流形中。在机器学习中，我们允许流形的维数从一个点到另一个点有所变化。这经常发生于流形和自身相交的情况中。例如，数字”8”形状的流形在大多数位置只有一维，但在中心的相交处有两维。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics{Chapter5/figures/one_dim_manifold_and_data_color}} \fi \caption{从一个二维空间的分布中抽取的数据样本，这些样本实际上聚集在一维流形附近，像一个缠绕的带子。实线代表学习器应该推断的隐式流形。} \end{figure}

如果我们希望机器学习算法学习整个$\SetR^n$上有趣变化的函数，那么很多机器学习问题看上去都是无望的。流形学习算法通过一个假设来克服这个障碍，该假设认为$\SetR^n$中大部分区域都是无效的输入，有意义的输入只分布在包含少量数据点的子集构成的一组流形中，而学习函数的输出中，有意义的变化都沿着流形的方向或仅发生在我们切换到另一流形时。流形学习最初用于连续数值和无监督学习的环境，尽管这个概率集中的想法也能够泛化到离散数据和监督学习的设定下：关键假设仍然是概率质量高度集中。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{Chapter5/figures/noise}} \fi \caption{随机地均匀抽取图像（根据均匀分布随机地选择每一个像素）会得到噪声图像。尽管在人工智能应用中以这种方式生成一个脸或者其他物体的图像是非零概率的，但是实际上我们从来没有观察到这种现象。这也意味着人工智能应用中遇到的图像在所有图像空间中的占比可以是忽略不计的。} \end{figure}

数据位于低维流形的假设并不总是对的或者有用的。我们认为在人工智能的一些场景中，如涉及到处理图像、声音或者文本时，流形假设至少是近似对的。这个假设的支持证据包含两类观察结果。

第一个支持流形假设的观察是现实生活中的图像、文本、声音的概率分布都是高度集中的。均匀的噪声从来不会与这类领域的结构化输入类似。 \fig?显示均匀采样的点看上去像是没有信号时模拟电视上的静态模式。同样，如果我们均匀地随机抽取字母来生成文件，能有多大的概率得到一个有意义的英语文档？几乎是零。因为大部分字母长序列不对应着自然语言序列：自然语言序列的分布只占了字母序列的总空间里非常小的一部分。

当然，集中的概率分布不足以说明数据位于一个相当小的流形中。我们还必须确保，我们遇到的样本和其他样本相互连接，每个样本被其他高度相似的样本包围，而这些高度相似的样本可以通过变换来遍历该流形得到。支持流形假设的第二个论点是，我们至少能够非正式地想象这些邻域和变换。在图像中，我们当然会认为有很多可能的变换仍然允许我们描绘出图片空间的流形：我们可以逐渐变暗或变亮光泽、逐步移动或旋转图中对象、逐渐改变对象表面的颜色等等。在大多数应用中很有可能会涉及到多个流形。例如，人脸图像的流形不太可能连接到猫脸图像的流形。

这些支持流形假设的思维实验传递了一些支持它的直观理由。更严格的实验{cite?}在人工智能中备受关注的一大类数据集上支持了这个假设。

当数据位于低维流形中时，使用流形中的坐标而非$\SetR^n$中的坐标表示机器学习数据更为自然。日常生活中，我们可以认为道路是嵌入在三维空间的一维流形。我们用一维道路中的地址号码确定地址，而非三维空间中的坐标。提取这些流形中的坐标是非常具有挑战性的，但是很有希望改进许多机器学习算法。这个一般性原则能够用在很多情况中。 \fig?展示了包含人脸的数据集的流形结构。在本书的最后，我们会介绍一些学习这样的流形结构的必备方法。在\fig?中，我们将看到机器学习算法如何成功完成这个目标。

\begin{figure}[!htb] \ifOpenSource \centerline{\includegraphics{figure.pdf}} \else \centerline{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{Chapter5/figures/QMUL-facedataset}} \fi \caption{QMUL Multiview Face数据集中的训练样本{cite?}，其中的物体是移动的从而覆盖对应两个旋转角度的二维流形。我们希望学习算法能够发现并且理出这些流形坐标。 \fig?提供了这样一个示例。} \end{figure}